Практичне заняття №1 спектри періодичних сигналів

1.1 Мета заняття

Метою заняття є вивчення студентами методів спектрального аналізу періодичних сигналів.

1.2 Методичні вказівки для самостійної підготовки до заняття [1,3-5].

Спектральний метод передбачає опис сигналу у вигляді суми (інтегралу) гармонійних коливань (гармонік).

Сукупність усіх гармонійних складових сигналу називається спектром сигналу.

Сигнал , який представлено у вигляді суми гармонік, може бути записаний наступним чином:

(1.1)

У цій аналітичній формі запису сигнал представлено сумою речовинних гармонічних складових. Спектр сигналу (1.1) дискретний.

Рис.1.1,а відображує амплітудно-частотний спектр (АЧС) сигналу (1.1), тобто залежність амплітуд комплексного дискретного спектра від частоти. Рис.1.1,б відображує фазочастотний спектр (ФЧС) сигналу (1.1), тобто залежність початкових фаз складових комплексного дискретного спектра від частоти.

а)

б)

Рисунок 1.1 - АЧС і ФЧС сигналу

Кожну з речовинних гармонік спектра можна представити в різних комплексних формах запису.

Речовинна гармоніка може, зокрема, розглядатися як речовинна частина комплексної величини:

(1.2)

Комплексна величина відповідає вектору довжиноюз початковою фазою, який обертається з кутовою швидкістю

Речовинна гармоніка визначається в будь-який момент часу як проекція цього вектору на вісь абсцис (рис.1.2).

Речовинну гармоніку можна записати у вигляді суми двох комплексних гармонік:

(1.3)

де - величина, комплексно-сполучена до.

На комплексній площині такий запис відповідає двом векторам довжиною з початковою фазою. Вектори обертаються в різні сторони з кутовою швидкістю. Речовинна гармоніка визначається в будь-який момент часу як сума двох векторів (рис.1.3).

Рисунок 1.2 - Речовинна гармоніка	Рисунок 1.3 - Речовинна гармоніка як сума двох комплексно-сполучених векторів

Графічне зображення спектру може відповідати різним формам його запису. На рис.1.4 показано одну з гармонік, причому рис.1.4,а відповідає речовинній формі запису, а рис.1.4,б – комплексній формі. У речовинній формі кожна складова спектра зображується у вигляді однієї лінії на частоті . У комплексній формі кожна складова відповідає парі ліній на частотах. Графік АЧС є парною функцією частоти, а графік ФЧС - непарною.

Для переходу від зображення речовинних гармонік до комплексних гармонік всі амплітуди зменшуються у два рази та відображуються для відповідних позитивних і негативних частот. Постійна складова спектра при переході від однієї форми до іншої не змінюється. Початкові фази в області негативних частот змінюють знак.

а)	б)
Рисунок 1.4 - Форми графічного зображення складових комплексного спектру

Для спектрального аналізу сигналів використовуються:

• тригонометричні перетворення;

• ряд Фур'є;

• інтеграл Фур'є.

Для спектрального аналізу періодичних сигналів використовується ряд Фур'є.

Періодичним сигналом будемо називати сигнал, для якого є чинним рівняння:

(1.4)

де: n - цілі числа від - ∞ до + ∞;

T - період повторення функції.

Найпростіший приклад періодичної функції - меандр:

Рисунок 1.5 - Періодичний сигнал „меандр”

При спектральному аналізі періодичних сигналів мається на увазі, що сигнал існує в часі від -∞ до +∞.

Ряд Фур'є можна записати у наступній формі:

(1.5)

де - частота першої гармоніки;

- комплексні амплітуди (комплексний спектр) комплексної форми запису ряду Фур'є:

;

;

;

.

Таким чином, періодичну функцію можна представити у вигляді суми:

- постійного члена (середнього значення функції);

- деякої множини синусоїдальних членів з частотами (основної частоти),( 2-ї гармоніки),( 3-ї гармоніки), …

-та гармоніка має частоту, кругову частоту, амплітудута фазу.

Приклад 1.1. Розрахувати спектри амплітуд і фаз періодичної послідовності прямокутних імпульсів тривалістю τ, що мають амплітуду U₀ та період T (рис. 1.6).

Рисунок 1.6 - Періодична послідовність прямокутних імпульсів

де .

Відомо, що , тоді амплітудно-частотний спектр дорівнює

або

,

де .

Позитивним значенням відповідають нульові початкові фази, негативним – початкові фази, рівні, тому що. Графіки амплітудно- і фазочастотного спектрів наведено на рис.1.7.

Огинаюча АЧС (показана на рис.1.7 пунктирною лінією) змінюється за законом . Гармоніки мають частоти(постійна складова). Коли номер гармонікистає кратним шпаруватості,і амплітуди відповідних гармонік обертаються в нуль. Це відбувається на частотах. Рис. 1.7 відповідає випадку, коли, тому гармонічні складові з номерамимають нульові амплітуди.

Рисунок 1.7 - Спектри амплітуд і фаз періодичної послідовності прямокутних імпульсів

Від амплітудно- і фазочастотних спектрів комплексних гармонік ряду Фур'є можна перейти до речовинної форми запису ряду Фур'є. Для цього досить подвоїти всі амплітуди гармонік (крім постійної складової). Спектр буде містити складові лише з позитивними (тобто реально існуючими) частотами. Речовинні амплітудно- і фазочастотний спектри представлено на рис.1.8.

Рисунок 1.8 - Речовинні амплітудно- і фазочастотний спектри

Переходячи від комплексної форми запису ряду до речовинної, отримуємо наступну аналітичну форму запису для спектра періодичної послідовності прямокутних імпульсів:

,

де прийпри.

З урахуванням перших п'яти гармонік для отримуємо:

а)	б)
в)	г)
Рисунок 1.9 - Відновлений сигнал

Приклад 1.2. Розрахувати спектри амплітуд і фаз періодичної послідовності пилкоподібних імпульсів, тривалістю , амплітудоюU₀ і періодом T (рис. 1.10):

Рисунок 1.10 - Періодична послідовність пилкоподібних імпульсів

Пилкоподібний сигнал (рис. 1.10) є парною функцією, тому розкладаючи його до ряду Фур'є отримуємо:

;
;

Таким чином, маємо:

.

Остаточно можемо записати:

.

Спектр цього сигналу є речовинним і позитивним при будь-яких значеннях , тобто на будь-якій частоті. Таким чином, фазочастотний спектр має значення. Амплітудно-частотний спектр наведено на рис.1.11.

Рисунок 1.11 - Амплітудно-частотний спектр послідовності пилкоподібних імпульсів

При урахуванні перших п'яти гармонік для отримуємо:

а)	б)
Рисунок 1.12 - Відновлений сигнал

Приклад 1.3. Розрахувати спектри амплітуд і фаз періодичної послідовності косинусоїдальних імпульсів (рис. 1.13):

а)

б)

Рисунок 1.13 - Періодична послідовність косинусоїдальних імпульсів

Комплексна амплітуда дорівнює

При () отримаємо:

Очевидно, що

тому можемо записати:

З урахуванням (1.5) отримуємо:

де при непарних() іпри парних(), отже,, тому можемо записати:

.

АЧС і ФЧС показано на рис.1.14.

При урахуванні перших п'яти гармонік отримаємо:

Рисунок 1.14 - АЧС і ФЧС послідовності косинусоїдальних імпульсів

а)	б)
Рис.1.15 Відновлений сигнал

При () отримаємо

Тому що

то можемо записати:

.

Таким чином, спектр амплітуд містить тільки парні гармоніки:

.

Використовуючи (1.5) можемо записати:

де при непарних() іпри парних(), отже,, тому можемо записати:

.

1.3 Задачі для самостійної роботи

1.3.1 Побудувати амплітудно-частотний і фазочастотний спектри напруги

, В.

Зобразити залежність напруги від часу.

1.3.2 Виконати спектральний аналіз коливання

.

Визначити його період.

1.3.3 На вхід приймача, який налаштовано на частоту кГц, впливає перешкода у вигляді періодичної послідовності прямокутних імпульсів з амплітудоюмВ та періодоммкс. У смугу пропущення приймача попадає одна з гармонік періодичної послідовності. Визначити номер цієї гармоніки й виявити залежність амплітуди перешкоди на виході приймача від тривалості імпульсівпри шпаруватості, рівної 20, 15, 10 і 5.

1.3.4 Побудувати амплітудно-частотний спектр парної періодичної послідовності прямокутних імпульсів (мал. 1.16, а) з тривалістю мкс і амплітудоюВ при періодах, рівних 3 і 4 мкс. Як зміниться спектр розглянутої послідовності при співпаданні початку відліку часу із фронтом одного з імпульсів (мал. 1.16, б)?

а)	б)
Рисунок 1.16 - Парна періодична послідовність прямокутних імпульсів

1.3.5 Представити у вигляді ряду Фур'є періодичну послідовність трикутних імпульсів напруги (рис 1.17, а). Побудувати амплітудно-частотний спектр, прийнявши В,мс,мс.

а)	б)
Рисунок 1.17 - Періодичні послідовності трикутних імпульсів

1.3.6 Чим відрізняються спектри напруг і, часові діаграми яких зображено на рис. 1.17,а й б. Як відрізняються середні потужності, які виділяються напругами йна опорі 1 Ом приВ,мс,мс?

1.3.7 Розрахувати спектри амплітуд і фаз періодичної послідовності імпульсів, яку представлено на рис. 1.18.

	Рисунок 1.18 - Періодична послідовність пилкоподібних імпульсів (а)

1.3.8 Розрахувати спектри амплітуд і фаз періодичної послідовності імпульсів, яку представлено на рис. 1.19.

	Рисунок1.19 - Періодична послідовність пилкоподібних імпульсів (б)

1.3.9 Розрахувати спектри амплітуд і фаз періодичної послідовності імпульсів, яку представлено на рис. 1.20

.
	Рисунок 1.20 - Періодична послідовність імпульсів (в)

1.3.10 Розрахувати спектри амплітуд і фаз періодичної послідовності імпульсів, яку представлено на рис. 1.21

	Рисунок1.21 - Періодична послідовність імпульсів (г)

1.3.11 Розрахувати амплітудно-частотний спектр періодичного сигналу (з періодом ), який задано на інтервалінаступним чином:. Побудувати графік часового представлення сигналуприВ,мс.

1.3.12 Розрахувати амплітудно-частотний спектр періодичного сигналу (з періодом ), який задано на інтервалінаступним чином:. Побудувати графік часового представлення сигналуприВ,мс.

1.3.13 Розрахувати амплітудно-частотний спектр періодичного сигналу (з періодом ), який задано на інтервалінаступним чином:. Побудувати графік часового представлення сигналуприВ,мс,мс.

1.3.14 Розрахувати амплітудно-частотний спектр періодичного сигналу (з періодом ), який задано на інтервалінаступним чином:. Побудувати графік часового представлення сигналуприВ,мкс.

1.3.15 Розрахувати амплітудно-частотний спектр періодичного сигналу (з періодом ), який задано на інтервалінаступним чином:. Побудувати графік часового представлення сигналуприВ,мс,мс.

1.3.16 Визначити практичну ширину спектра періодичної послідовності прямокутних імпульсів при ширині імпульсів , що дорівнює , якщо потрібно врахувати всі гармонічні складові сигналу, амплітуди якихбільше 0,2 від амплітуди першої гармоніки.

1.3.17 Представити у вигляді ряду Фур'є періодичну послідовність імпульсів з періодом 4 графік, якої представлено на рис. 1.22.

	Рисунок 1.22 - Періодична функція (д)

1.3.18 Розкласти в ряд Фур'є функцію ( ) (рис.1.23).

Рисунок 1.23 - Періодична функція (є)

1.3.19 Представити у вигляді ряду Фур'є періодичну послідовність прямокутних імпульсів напруги (рис. 1.24). Побудувати амплітудно-частотний спектр, прийнявши В,мс.

Рисунок 1.24 - Періодична функція (і)

1.20 Розкласти в ряд Фур'є функцію с періодом .

1.3.21 Розкласти в ряд Фур'є функцію с періодом .

1.3.22 Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію (з періодом ), якщо

1.3.23 Знайти розкладання в ряд Фур'є функції

Побудувати графіки даної функції й суми ряду.

1.3.24 Розкласти в ряд Фур'є функцію

Побудувати графіки даної функції й суми ряду.

1.3.25 Представити у вигляді ряду Фур'є періодичну послідовність трикутних імпульсів напруги (рис.1.25). Побудувати амплітудно-частотний спектр, прийнявши В,мс.

Рисунок 1.25 - Періодична функція (к)

1.3.26 Представити у вигляді ряду Фур'є періодичну послідовність трикутних імпульсів напруги (рис. 1.26). Побудувати АЧС, прийнявши В,мс.

Рисунок 1.28 - Періодична функція (л)

1.4 Контрольні запитання і завдання

1. За яких умов періодична функція може бути представлена рядом Фур'є?

2. Які характерні риси має спектр періодичного сигналу?

3. Як можна енергетично тлумачити спектр періодичного сигналу?

4. Що таке перетворення Фур'є?

5. Чим визначається практична ширина спектра періодичної послідовності прямокутних імпульсів за умови, якщо тривалість імпульсів більше половини періоду імпульсів?

6. Які детерміновані сигнали належать до елементарних сигналів?

7. Що розуміють під практичною шириною спектра сигналу? Які критерії використовують для вибору практичної ширини спектра?