Контрольная работа

Контрольная работа №1. Дискретная случайная величина. Вариант №5.

1. Четыре яблока случайным образом разложили по трем корзинам. Найти вероятность того, что первая корзина осталась пустой.

Решение: Рассмотрим возможные варианты разложения 4-х яблок по 3-м корзинам.

4	0	0	Всего получилось n=12 вариантов, из них m=5 отвечают условию пустой 1-ой корзины. Вероятность равна:
0	4	0
0	0	4
3	1	0
1	3	0
3	0	1
1	0	3
0	1	3
0	3	1
2	2	0
2	0	2
0	2	2

2. Найти вероятность того, что из 1461 человека ровно 1 родился 29 февраля.

Решение:  Используем формулу Бернулли  - вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет k раз.  Здесь  - вероятность родиться 29 февраля;  - вероятность не родится 29 февраля (вероятность противоположного события) Вероятность того, что из 1461 человека ровно 1 родился 29 февраля равна gif" name="object5" align=absmiddle width=593 height=48>

3. В первой урне 5 черных 3 белых шара. Во второй 2 белых, 1 черный шар. Из случайной урны берут два шара. Найти вероятность, что они белые.

Решение:

Событие В1 – шары взяты из 1-ой урны; событие В2 – шары взяты из 2-ой урны; событие А- вынуты два белых шара.

Используем формулу полной вероятности событий. . Условные вероятности  и  рассчитываются по формулам: Подставим найденные вероятности в формулу полной вероятности, получим

4. В колоде 36 карт. Берут 2 карты. Случайная величина Х - число тузов среди взятых карт.. Найти закон распределения Х, математическое ожидание, дисперсию

Решение: Составим закон распределения случайной величины Х. 

X	0	1	2
P	Р1	Р2	Р3

Здесь Сделаем проверку . Закон распределения имеет вид:

X	0	1	2
P

Найдем математическое ожидание Найдем дисперсию  Контрольная работа №1. Дискретная случайная величина. Вариант №14.

1. Найти вероятность того, что при случайной раздаче 52 карт четырем игрокам, все пики окажутся у первого игрока.

Решение: В колоде 52/4=13 карт масти пик, событие  - выпадение пики 1-му игроку на i-ом круге раздачи , событие А – у первого игрока оказались 13 карт масти пик..  Вероятности событий  равны Вероятность события А равна произведению вероятностей этих событий

2. Найти вероятность того, что из 365 человек мене двух родились первого января.

Решение: Вероятность родится одному человеку 1-го января равна , вероятность родится в любой другой день равна  Вероятность того, что из 365 человек мене двух родились первого января равна сумме вероятностей того, что ни один человек из 365 не родился в этот день и один из них родился в этот день . Данные вероятности рассчитываем по формуле Бернулли 

3. В первой колоде 36 карт. Во второй колоде 52 карты. Из первой колоды во вторую кладут 2 карты. Из второй потом берут карту. Найти вероятность того, что взятая карта туз. 

Событие В1 – переложили из 1-ой колоды во 2-ю - 2-а туза; событие В2 – переложили из 1-ой колоды во 2-ю - 1туза и 1 не туз;  событие В3 – переложили из 1-ой колоды во 2-ю - 2 не туза;  событие А- вынуты из 2-ой колоды один туз.

Запишем вероятность события А, используя формулу полной вероятности. Здесь вероятности событий  равны Найдем условные вероятности.  Подставим все вероятности в формулу полной вероятности, получим

4. У стрелка 4 патрона. Вероятность попадания по мишени при одном выстреле равна 0.6. Стрельба ведется до первого попадания. Случайная величина Х - число оставшихся не израсходованных патронов. Найти закон распределения Х, математическое ожидание, дисперсию.

Решение: Составим закон распределения случайной величины Х. 

X	0	1	2	3
P	Р1	Р2	Р3	Р4

Здесь  р₄ =0,6 – вероятность попадания с первого выстрела (осталось 3 патрона); р₃ =0,6·0,4=0,24 – вероятность попадания со 2-го выстрела (осталось 2 патрона); р₂ =0,6·0,4²=0,096 – вероятность попадания с 3-го выстрела (остался 1 патрона); р₁ =0,6·0,4³+0,4⁴=0,064 – вероятность попадания с 4-го выстрела плюс вероятность четырехкратного промаха (патронов не осталось); Проверка: 0,6+0,24+0,096+0,064=1 Закон распределения имеет вид:

X	0	1	2	3
P	0,064	0,096	0,24	0,6

Найдем математическое ожидание Найдем дисперсию