Контрольные вопросы и задания

1. Доказать, что если отношение R транзитивно, то R^–1 также является транзитивным.

2. Доказать, что из асимметричности отношения R следует асимметричность R^–1.

3. Доказать, что из антисимметричности отношения R следует антисимметричность R^–1.

4. Доказать, что из рефлексивности отношения R следует рефлексивность R ^–1.

5. Доказать, что для симметричности отношения R необходимо и достаточно, чтобы R^d было симметрично.

6. Отношение R симметрично тогда и только тогда, когда R = R^-1.

7. Доказать, что если отношения R₁ и R₂ рефлексивны, то рефлексивны отношения R₁  R₂ , R₁  R₂ , R₁^–1.

8. Доказать, что если отношения R₁ и R₂ антирефлексивны, то антирефлексивны и отношения R₁  R₂, R₁  R₂, R₁^–1. Показать, что композиция R₁ o R₂ антирефлексивных отношений может не быть антирефлексивной.

9. Доказать, что если отношения R₁ и R₂ симметричны, то симметричныны отношения R₁  R₂, R₁  R₂, R₁^–1, R₁ o R₁^–1.

10. Доказать, что если отношения R₁ и R₂ антисимметричны, то антисимметричны также R₁  R₂ и R₁^–1.

11. Пусть отношения R₁, R₂ – симметричны. Доказать, что для того чтобы R₁ o R₂ было симметрично необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство R₁ o R₂ = R₂ o R₁.

12. Пусть отношения R₁ и R₂ антисимметричны. Объединение R₁ R₂ антисимметрично тогда и только тогда, когда R₁ R₂^-1 .

13. Доказать, что если отношение R асимметрично, то R  R₁ асимметрично для любого отношения R₁.

14. Доказать, что объединение R₁R₂ асимметричных отношений R₁ и R₂ асимметрично тогда и только тогда, когда R₁R₂^-1= = .

15. Доказать, что если отношение транзитивно, то его симметричная и асимметричная части тоже транзитивны.

16. Пусть отношения R₁, R₂ транзитивны и R₁ транзитивно относительно R₂. Доказать, что тогда R₁  R₂ также является транзитивным.

17. Какими свойствами должно обладать бинарное отношение R, чтобы выполнялось равенство R^–1 =R ?

18. Доказать, что отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда R = ( R^d)^a.

19. Доказать, что для того чтобы отношение R было полным необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

R^a= R^d.

20. Доказать, что если отношения R₁, R₂ рефлексивны, то их композиция тоже рефлексивна.

21. Доказать, что отношения R  (R  R^d ) = R  (R )^s полны.

22. Доказать, что если отношение R полно, тоR  R^–1 и R^–1 ==R  (R  R^–1).

23. Доказать, что если отношение R асимметрично, то R^–1 R иR = R^–1(R R^d).

24. Доказать, что композиция полных отношений R₁ и R₂ является полным отношением.

25. Отношение Р негатранзитивно тогда и только тогда, когда xPy   zА, xPz или zPy.

26. Доказать, что если R рефлексивно, то R^d антирефлексивно, если R антирефлексивно, то R^d рефлексивно.

27. Доказать, что полное отношение рефлексивно.

28. Доказать, что асимметричное отношение антирефлексивно.

29. Доказать, что отношение R негатранзитивно тогда и только тогда, когда R^d транзитивно.

30. Пусть отношение R симметрично, транзитивно и для любого x существует такой y, что (x, y)R. Доказать, что оно рефлексивно.

31. Доказать, что ацикличное отношение асимметрично.

32. Доказать, что если отношение антирефлексивно и транзитивно, то оно ациклично.

33. Доказать, что асимметричное и негатранзитивное отношение транзитивно.

34. Доказать, что если отношение антирефлексивно, транзитивно и слабо полно, то оно негатранзитивно.

35. Доказать, что дополнение и двойственное отношение к антисимметричному и рефлексивному отношению R являются слабо полными.

36. Доказать, что любое отношение R симметричное и антисимметричное одновременно, является транзитивным.

37. Доказать, что для того чтобы отношение R было асимметричным необходимо, чтобы R^d иR были полными.

38. Построить бинарное отношение:

а) рефлексивное, симметричное, не транзитивное;

б) рефлексивное, антисимметричное, не транзитивное;

в) рефлексивное, не симметричное, транзитивное;

г) не рефлексивное, антисимметричное, транзитивное;

д) симметричное, транзитивное, но не рефлексивное.