IV. Расчетная работа №4

1. Титульный лист

Министерство образования и науки Российской Федерации

Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 4

Дисциплина: Математический анализ

Часть 4. Дифференциальные уравнения

(1 зачетная единица)

Студент

Группа

Преподаватель

Вариант

Дата

Екатеринбург 2015

2. Варианты заданий

Вариант 1

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши

.

8. Количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу вре-мени, пропорционально количеству этого вещества, имеющегося в дан-ный момент. Известно, что в течение 10 дней распалось 70% первона-чального количества вещества. Сколько нужно времени, чтобы от первоначального количества осталось 10%?

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 2

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 3

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Количество света, поглощаемого тонким слоем воды на определённой глубине, пропорционально количеству света на этой глубине. Извест-но, что слой воды в 35 см поглощает половину падающего света. Какую часть света поглотит слой толщиной 2 м?

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 4

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её нормалью, на 2 больше абсциссы точки касания.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 5

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 мин тело охладилось от начальной темпера-туры в 100° до 60°. Температура окружающей среды равна 20°. Сколь-ко времени тело остывает от начальной температуры до 25°?

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 6

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого любой её касательной, равна длине этой касательной.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 7

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу вре-мени, пропорционально количеству этого вещества, имеющегося в дан-ный момент. Известно, что в течение 30 дней распалось 30% первона-чального количества вещества. Сколько нужно времени, чтобы от первоначального количества осталось 20%?

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 8

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 9

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Количество света, поглощаемого тонким слоем воды на определённой глубине, пропорционально количеству света на этой глубине. Извест-но, что слой воды в 2 м поглощает половину падающего света. Какую часть света поглотит слой толщиной 5 м?

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 10

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её нормалью, на 2 больше абсциссы точки касания.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 11

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 20 мин тело охладилось от начальной темпера-туры в 200° до 90°. Температура окружающей среды равна 40°. Сколь-ко времени тело остывает от начальной температуры до 50°?

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 12

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого любой её касательной, равна длине этой касательной.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 13

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. На высоте 50 м у ракеты весом 0.25 кг выгорает пороховой заряд. Скорость ракеты в этот момент равна 25 м/с. Считая силу сопротивление воздуха пропорциональной квадрату скорости с коэффициентом кг/м, найти, через какое время ракета окажется в наивысшей точке.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 14

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу вре-мени, пропорционально количеству этого вещества, имеющегося в дан-ный момент. Известно, что в течение одного года распалось 44% первоначального количества вещества. Сколько нужно времени, чтобы от первоначального количества осталось 40%?

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 15

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 16

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Количество света, поглощаемого тонким слоем воды на определённой глубине, пропорционально количеству света на этой глубине. Извест-но, что слой воды в 1 м поглощает 40% падающего света. Какую часть света поглотит слой толщиной 3 м?

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 17

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её нормалью, на 2 больше абсциссы точки касания.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 18

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 40 мин тело охладилось от начальной темпера-туры в 300° до 150°. Температура окружающей среды равна 50°. Сколь-ко времени тело остывает от начальной температуры до 100°?

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 19

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого любой её касательной, равна длине этой касательной.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 20

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Известно, что предельная скорость падения парашютиста в воздухе без раскрытия парашюта равна 50 м/с. За какое время он достигает этой скорости, покинув самолёт, если известно, что сила сопротивления воз-духа пропорциональна квадрату его скорости падения (кг/м)? Принять м/с², а вес парашютиста равным 70 кг.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 21

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если произведение абсциссы отрезка, отсекаемого её касательной, и абсциссы точки касания есть величина постоянная, равная 1.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 22

1. Решить дифференциальное уравнение

.

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Тело с начальной скоростью 2 м/с движется в среде, в которой сила сопротивления пропорциональна скорости тела. Через 5 с её скорость оказалась равна 1 м/с. Когда скорость тела уменьшится до 0.1 м/с?

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 23

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если произведение абсциссы отрезка, отсекаемого её касательной, и абсциссы точки касания есть величина постоянная, равная 4.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 24

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Футбольный мяч весом 0.4 кг падает с высоты 45 м без начальной скорости. Считая, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости (кг/м), найти время падения мяча. Принять м/с².

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

Вариант 25

1. Решить дифференциальное уравнение .

2. Найти решение задачи Коши для уравнения

,.

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти решение задачи Коши для уравнения .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти решение задачи Коши .

8. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если произведение абсциссы отрезка, отсекаемого её касательной, и абсциссы точки касания есть величина постоянная, равная 9.

9. Решить систему при заданных начальных условиях

, .

107