II. Полиномиальный пучок и его линеаризация.

ЛЕММА II.1. Рассмотрим полиномиальный операторный пучок, т.е. операторный полином

(2.1)

Степень n этого многочлена называется порядком пучка (предполагаем, что Пучок первого порядка называютлинейным, а пучок второго порядка квадратичным.

В спектральной теории пучков важную роль играют понятия спектра, регулярного значения, собственного значения, собственных и присоединенных векторов, производящего полинома, которые были введены в предыдущем параграфе для любой голморфной оператор-функции.

Одним из основных методов в спектральной теории пучков является метод линеаризации. Он состоит в сведении различных задача теории пучков к соответствующим задачам для некоторого линейного пучка в пространствеЭтот метод аналогичен сведению дифференциального уравненияn-го порядка к системе n уравнений первого порядка ( из дальнейшего будет видно, что эта аналогия отражает существенные связи между двумя теорями).

2. Здесь мы рассмотрим один из способов линеаризации пучка.

Обозначим через ортогональную суммуn экземпляров пространства Иными словами,состоит из векторов-столбцова скалярного произведение вопределяется равенством

(2.2)

Операторы, действующие в , удобно записывать в виде операторных матрицn-го порядка с элементами из L(. При этом, если

(2.3)

(2.4)

Диагональный оператор будем обозначать через

Поставим в соответствие пучку (2.1) следующий линейный пучок в пространстве :

где (2.5)

(все не отмеченные элементы операторных матриц предполагаются равными нулю).

ЛЕММА II.2. Спектры пучком A(иA(совпадают. Если операторобратим, то спектр пучка А(совпадает со спектром оператора, и поэтому является непустым компактом. Если операторобратим, то спектр пучкаA(совпадает с множеством всех чисел видагде

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Первое утверждение леммы вытекает из леммы II.1. и обратимость Если обратим операторто обратим и операторт.е. когда(мы сохраняем обозначениеI для единичного оператора в пространстве Аналогично, если обратим оператор сОтсюда вытекает последнее утверждение леммы.

ЛЕММА II.3. Векторный полином (с коэффициентами из) является производящим полином рангаm пучка в точкетогда и только тогда, когдаявляется производящим полиномом рангаm пучка в точкеи

(2.6)

где – векторные полиномы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что , где

(2.7)

(2.8)

Если имеет в точкенуль кратности, то из (2.8) вытекает равенства (2.6), а из них – равенства

(2.9)

Кроме того, из (2.7) получаем, что

(2.10)

–некоторые векторные полиномы). Подставляя (2.9) в (2.10), получаем, что также имеет в точкенуль кратности.

Обратно, из (2.6) следует равенства (2.9), которые вместе с равенства дают (2.10). Из (2.10) и (2.5) вытекает, что. Лемма доказано.

Легко видеть, что в силу (2.6) полиномы

вместе с являются производящим полиномами для пучка. Нам понадобится связь между цепочками, соответствующими полиномами.