Пучок Кельдыша

1. Голоморфные оператор-функции

Пусть U – область в С, – комплексное банахово пространство и F – определенная в U вектор-функция со значениями в . Вектор-функцийF(называется сильно (слабо) голоморфной вU, если для любого в существует сильный (слабый) предел

(1.1)

Очевидно, что слабая голоморфность эквивалентна голоморфности любой функциигде*.

Оператор-функция со значениями в называется равномерно (сильно, слабо) голоморфной, если для любогосуществует равномерный (сильный, слабый) предел

(1.2)

Очевидно, равномерная голоморфность оператор-функции А(означает то же, что и сильная голомофрность вектор функции А(со значениями вL(, а сильная голоморфность оператор-функции А(эквивалентна сильной голоморфности вектор-функции А((со значениями вдля любогоСлабая голоморфностьA(эквивалентна голоморфности функции (для любых.

Следующий важный результат показывает, что на самом деле понятие голоморфности для векторных и операторных функций не зависит от используемой в его определение сходимости ( поэтому всюду в дальнейшем мы говорим просто о их голоморфности).

ЛЕММА I.I. Для вектор-функции понятия сильной и слабой голоморфности эквивалентны. Для оператор-функции понятие равномерной, сильной и слабой голморфности эквивалентны.

Многие результаты о скалярных голоморфных функциях без труда переносятся на голоморфные вектор и оператор-функции. Это перенесение можно осуществлять либо проводя аналогичное доказательство, либо применяя скалярный вариант теоремы к функциям илиВ случаях, когда перенесение теорем со скалярных функции на векторные или операторные на связано ни с какими осложнениями, мы будем обычно ограничиваться ссылкой на скалярные теоремы.

Всюду, где не оговорено противное, будем предполагать, что рассматриваемые оператор-функции принимают значения из

2. ЛЕММА I.2. Пусть A(– оператор-функция, голоморфная в некоторой области в. Спектром А(называется множество вL(чисел в, для которых операторA(не имеет обратного вL(Очевидно, что– замкнутые вU множестве. Числа будем называтьрегулярными значениями оператор функции A(. Легко видеть, что оператор-функцииголоморфна на множестве.

Число называетсясобственными значением оператор-функции A(, если уравнение

A( (1.3)

имеет ненулевое решение . При этом векторназываютсобственным вектором A(, отвечающим числу.

Векторы называют присоединенными к собственному вектору, если

(1.4)

Число m называют длиной цепочки из собственного и присоединенных к нему векторов. Максимальная длина цепочки из собственного вектораи присоединенных к нему векторов называетсякратностью собственного вектора и обозначается через m(.

Если собственное подпространство конечномерно иm(для каждого, токанонической системой собственных и присоединенных векторов операторов-функции A(,отвечающий числу , называется система

(1.5)

где векторы образует базис в ,m=(=и– цепочка присоединенных квекторов, причем

(1.6)

а – какое-нибудь прямое дополнение вк подпространству, натянутому. Число

(1.7)

называется кратностью собственного числа оператор-функции А(. Нетрудно убедиться, что числа, а значит, ине зависят от выбора каноническое системы.

ЗАМЕЧАНИЕ Очевидно, что цепочка из собственного и присоединенных к нему векторов пучка совпадает с жордановой цепочкой оператора А, отвечающей тому же собственному числу. Поэтому кратность собственного числапучкасовпадает с кратностью собственного числаоператора А.

3. ЛЕММА I.3. Векторы образует цепочку из собственного и присоединенных к нему векторов, отвечающую числу, тогда и только тогда, когда существует векторный полиномтакойи чтоимеет в точкенуль кратности

В самом деле, если выполняются равенства (I.1.), (I.2), то можно положить

(1.8)

где , а векторыпроизвольны. Если жеимеет в точкенуль порядкато равенстве

(1.9)

Совпадают с равенствами (I.1.), (I.2).

Пусть – векторный полином с коэффициентами из, причеми. Если порядок нуля полиномав точкеравенm, то называетсяпроизводящим полином для цепочки из собственного и присоединенных к нему векторов оператор функции. Числоm будем называть рангом производящего полинома . Для краткости иногда будем говорить, что– производящий полином оператор функции(рангаm в точке .

Заметим, что если производящий полином рангаm записать по степени :

, (1.10)

то векторы являются произвольными. Из дальнейшего будет ясно, почему в определнии производящего полинома удобно допускать такой произвол ( а не ограничиваться полиномами, степень которых равнаm-1).