Р А З Д Е Л 10
Теория Пойя
В этом разделе излагается весьма упрощенный вариант теории Пойя. Однако даже этого достаточно, чтобы показать эффективность применения теории групп к комбинаторике.
В комбинаторных задачах мы часто имеем дело с объектами (способами, конфигурациями и т. п.), для которых определено некоторое отношение эквивалентности, и нашей целью является подсчет числа классов этой эквивалентности. На алгебраическом языке такая ситуация обычно формулируется следующим образом: на множестве объектов задано действие некоторой группы, и классы эквивалентности являются орбитами этого действия. Один из косвенных методов подсчета числа орбит содержится в так называемой лемме Бернсайда.
Пусть X – множество, на котором действует группа G. Обозначим через rG(X) число орбит в множестве X.
Теорема 10.1 (Лемма Бернсайда)
1 X
rG(X) = |G| g G |Xg|,
где Xg = {x X | gx = x} – множество элементов из X, неподвижных относительно g G.
Пусть, в дополнение к принятым обозначениям, Y – некоторое множество. Обозначим через Y X множество всех отображений из
40
Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков |
41 |
X в Y . Тогда возникает правое действие G на Y X: если α Y X, x X, g G, то полагаем αg : x 7→α(gx).
Многие перечислительные задачи сводятся к нахождению числа rG(Y X) по известному действию G на X.
Для формулировки теоремы Пойя нам понадобится рассматривать действие циклических подгрупп из G на X. Мы будем писать rg(X) вместо rhgi(X) для g G (на самом деле это число циклов, если рассматривать g как подстановку на X).
Теорема 10.2 (Ослабленная теорема Пойя)
rG Y X = |G1 | X |Y |rg(X).
g G
Пример (задача об ожерельях). Пусть X – множество вершин правильного n-угольника, Y – множество цветов, которыми раскрашиваются эти вершины. Будем отождествлять два раскрашенных n-угольника, если их можно с помощью поворотов и симметрий совместить так, что совпавшие вершины имеют один и тот же цвет. Сколько существует различных раскрасок?
Ответом является число rn,m = rG(Y X), где G = Dn – группа диэдра (см. раздел 9), m = |Y |. Вычисляя величины rg(X), получаем следующее
Предложение 10.3
rn,m = 21n |
|
ϕ(d)mn/d + An,m |
, |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
n |
|
|
|
|
|
|
где ϕ – функция Эйлера, суммирование ведется по всем делителям числа n и
An,m = |
nm(n+1)/2, |
если n нечетно, |
21 n(m + 1)mn/2, |
если n четно. |
|
|
* * * |
|
42 |
Раздел 10. Теория Пойя |
Предварительные задачи по комбинаторике1
10.1. Флаг составляется из 7 полос четырех цветов так, чтобы соседние полосы имели различные цвета. Сколькими способами это можно сделать?
10.2. Три человека x, y, z должны разделить между собой m рублей, так, чтобы x и y получили равные суммы. Сколькими способами это можно сделать?
10.3. n параллельных прямых на плоскости пересекаются с другими m параллельными прямыми. Сколько параллелограммов можно выделить в образовавшейся сетке?
10.4. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размера n × n две ладьи различного цвета так, чтобы ладьи могли взять друг друга?
10.5. n человек, в том числе A и B, располагаются в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что между A и B стоит ровно r человек.
10.6. Пусть m – натуральное число. Докажите, что число целых неотрицательных решений уравнения
x1 + . . . + xr = m
равно Crr+−m1 −1.
10.7. Выведите рекуррентное уравнение для числа последовательностей длины n из нулей и единиц, в которых нигде два нуля не стоят рядом.
10.8. Докажите, что число bn всех подстановок n-й степени, не имеющих неподвижных точек, удовлетворяет рекуррентному уравнению
bn+1 = n(bn + bn−1),
n ≥ 1, с начальными условиями b0 = 1, b1 = 0.
10.9.* Решите рекуррентные уравнения из задач 10.7 и 10.8.
1Мы используем этот цикл задач для выработки комбинаторных навыков в том случае, если студенты еще не успели прослушать курс дискретной математики.
Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков |
43 |
10.10. Сколько подстановок n-й степени имеют ровно k (k ≤ n) неподвижных точек?
Лемма Бернсайда и теорема Пойя
10.11.* Пусть S, T – непересекающиеся множества, группы G и H действуют на S и T соответственно.
а) Определим действие группы G×H на U = S T следующим образом:
(g, h)u = gu, если u S, hu, если u T .
Найдите rG×H(U).
б) Определим действие G × H на V = S × T следующим образом:
(g, h)(s, t) = (gs, ht).
Найдите rG×H(V ).
10.12. Определим действие симметрической группы S(X) на декартовом квадрате X × X следующим образом: g : (x, y) 7→ (gx, gy). Сколько орбит имеет S(X)-множество X × X?
10.13.* Пусть n > 1. Используя задачи 10.10 и 10.12, докажите
равенство
m
X
k2Cnkbn−k = 2n!
k=1
(число bn определено в задаче 10.8).
10.14. Докажите, что
а) число раскрасок вершин квадрата m цветами равно
18 m(m + 1)(m2 + m + 2);
б) число раскрасок вершин правильного p-угольника (где p – нечетное простое число) m цветами равно
2p |
m 2 |
+ 1 m 2 |
+ p − 1 . |
m |
p−1 |
p−1 |
|
44 |
Раздел 10. Теория Пойя |
10.15. Сколькими способами можно ориентировать стороны правильного n-угольника?
10.16.* Найдите число раскрасок m цветами а) вершин, б) ребер, в) граней
тетраэдра.
10.17.* Зафиксируем некоторое множество V . Мы будем рассматривать ориентированные графы без петель с V в качестве множества вершин. Два таких графа и 0 с множествами ребер E и E0 соответственно называются изоморфными, если существует такая биекция ϕ : V → V , что
(u, v) E (ϕu, ϕv) E0.
Положим X = (V ×V )\{(v, v) | v V }, Y = {0, 1}. Тогда каждое отображение α : X → Y определяет граф α с множеством ребер
Eα = {(u, v) | α(u, v) = 1}.
Обратно, каждому графу с множеством ребер E соответствует отображение α такое, что
α(u, v) = 1 (u, v) E.
Определим действие симметрической группы S(V ) на X так же, как и в задаче 10.12.
Докажите, что графы изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие им отображения содержатся в одной и той же орбите.
10.18. Найдите число неизоморфных ориентированных графов без петель
а) с тремя вершинами; б) с четырьмя вершинами.
10.19.* Найдите число неизоморфных неориентированных графов без петель
а) с тремя вершинами;
Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков |
45 |
б) с четырьмя вершинами.
10.20.* Группоидом называется множество A с заданной на нем бинарной операцией “·”. Группоиды A(·) и B( ) называются изотопными, если существует такая тройка биекций α, β, γ : A → B, что αx βy = γ(x · y) для любых x, y A (проверьте, что отношение изотопности является эквивалентностью). Если γ – тождественное отображение, то группоиды A(·) и B( ) называются главно изотопными. Сколько, с точностью до главной изотопии, существует группоидов из трех элементов?