Р А З Д Е Л 8
Теоремы Силова
Эти три теоремы были доказаны в 1872 г. норвежским математиком Л. Силовом и до сих пор играют фундаментальную роль в теории конечных групп.1
Напомним, что группа, порядок которой равен степени простого числа p, называется p-группой. Элемент, порядок которого равен степени p, называется p-элементом. Из теоремы Лагранжа следует, что p-группа состоит из p-элементов. Верно и обратное: группа, состоящая только из p-элементов, является p- группой (это следует из теоремы Коши).
Подгруппа, являющаяся p-группой, называется p-подгруппой. Максимальная p-подгруппа называется силовской.
Ниже в формулировках теорем Силова предполагается, что G
– конечная группа, |G| = pαm, p – простое число, α ≥ 0, p 6m.
Теорема 8.1 (1-я теорема Силова) Для всякого β, 0 ≤ β ≤ α, в G найдется подгруппа порядка pβ; каждая такая подгруппа содержится в силовской p-подгруппе группы G.
В частности, каждая силовская p-подгруппа имеет порядок pα.
Теорема 8.2 (2-я теорема Силова) Все силовские p-подгруппы группы G сопряжены между собой.
1Из различных способов доказательства теорем Силова мы выбрали для лекций тот, который в наибольшей степени использует понятие действия группы (см., например, С. Ленг, Алгебра, М., 1968).
35
36 |
Раздел 8. Теоремы Силова |
(Две подгруппы H, K < G сопряжены, если K = gHg−1 для некоторого g G.) В частности, в абелевой группе силовская p- подгруппа единственна. Более того, силовская p-подгруппа данной группы нормальна тогда и только тогда, когда она единственна.
Теорема 8.3 (3-я теорема Силова) Число силовских p-под- групп группы G делит порядок группы и сравнимо с 1 по модулю p.
Пример применения теорем Силова – полная классификация групп порядка pq:
Теорема 8.4 Пусть p и q – простые числа, p < q. Если q 6≡1(mod p), то группа порядка pq единственна с точностью до изоморфизма (именно, это Z(pq)). Если q ≡ 1(mod p), то существует единственная с точностью до изоморфизма нециклическая группа G порядка pq; именно,
G = ha, b | ap = bq = 1, aba−1 = bri,
где r – какое-нибудь целое число, удовлетворяющее условиям rp ≡ 1(mod q), r 6≡1(mod q).
* * *
8.1. Опишите силовские подгруппы в: а) конечных абелевых группах;
б) группах S3, A4, S4; в) группах D5, D6.
8.2. Докажите, что если все силовские подгруппы в G нормальны, то G изоморфна их прямому произведению.
8.3.* Докажите, что если |G| равен 15, 35 или 1001, то G циклична.
8.4.* Докажите, что если |G| равен 56, 80, 196 или 200, то G содержит нормальную силовскую подгруппу (в частности, не является простой).
Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков |
37 |
8.5.* Докажите, что если |G| = p2q (где p и q – различные простые числа), то G содержит нормальную силовскую подгруппу (в частности, не является простой).
8.6. Докажите, что если |G| = p2q2 6= 36 (где p и q – различные простые числа), то G содержит нормальную силовскую подгруппу (в частности, не является простой).
8.7.* Докажите, что если |G| = 36, то G не проста.
8.8.* Докажите, что любая группа порядка pqr (где p, q, r – попарно различные простые числа) содержит нормальную силовскую подгруппу (в частности, не является простой).
8.9.* Пусть P – силовская p-подгруппа в группе G. Докажите, что число всех силовских p-подгрупп в G равно [G : NG(P )].
8.10.* Докажите, что если P – силовская подгруппа в G, причем
P C H C G, то P C G.
8.11.* Докажите, что если P – силовская подгруппа в G, то
NG(NG(P )) = NG(P ).
8.12.* Пусть |P | = pn, m ≤ n. Докажите, что существует Q C P такая, что |Q| = pm.
8.13.* Пусть |P | = pn, Q < P , Q 6= P . Докажите, что найдется R < P такая, что Q C R, [R : Q] = p.
8.14.* Докажите, что в группе порядка 60 существует подгруппа порядка 10.
Р А З Д Е Л 9
Пример: группы диэдров
9.1. Докажите, что группа симметрий правильного n-угольника имеет порядок 2n (она называется группой диэдра и обозначается Dn; группа D2 – это группа симметрий отрезка на плоскости, т.е.
D Z(2) × Z(2)).
2 =
9.2. Проверьте, что D S .
3 = 3
9.3. Докажите, что в Dn существует циклическая нормальная подгруппа H порядка n, причем |x| = 2 для всех x Dn \ H.
9.4.* Докажите, что если группа G порождается элементами a и b такими, что an = b2 = 1, bab = a−1 для некоторого натурального
n ≥ 2, то |G| ≤ 2n. Если |G| = 2n, то G D . И обратно,
= n
Dn = ha, b | an = b2 = 1, bab = a−1i.
9.5. Найдите центр группы Dn.
9.6. Пусть n нечетно, n ≥ 3. Докажите, что D2n Dn × Z(2).
=
9.7.* Докажите, что если конечная группа порождается двумя различными элементами порядка 2, то она изоморфна группе диэдра.
9.8.* Описание групп порядка 30. Пусть |G| = 30. Докажите, что:
а) Если силовская 3-подгруппа не нормальна в G, то силовская 5-подгруппа нормальна в G.
б) Силовская 3-подгруппа нормальна в G.
38
Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков |
39 |
в) Силовская 5-подгруппа нормальна в G.
г) В G существует нормальная (циклическая) подгруппа порядка 15.
д) Существуют ровно 4 неизоморфные группы порядка 30. Все они имеют вид G = ha, b | a15 = b2 = 1, bab = ari, где r ≡ 1, 4, 11 или 14 (mod 15).
е) Если r = 1, то G Z(2) × Z(3) × Z(5).
=
Если r = 4, то G Z(3) × D .
= 5
Если r = 11, то G D × Z(5).
= 3
Если r = 14, то G D .
= 15