Р А З Д Е Л 4
Прямое произведение
Пусть G и H – некоторые группы. На множестве пар
G × H = {(a, b) | a G, b H}
определим операцию: (a, b)(c, d) = (ac, bd). Множество G×H превращается в группу, которая называется прямым произведением групп G и H. Если для групп используется аддитивная запись (т. е. “+” вместо “·”), то прямое произведение часто обозначается через G H и называется прямой суммой.
|
|
˜ |
˜ |
Подмножества G = {(a, 1) | a G} и H = {(1, b) | b H} |
|||
являются нормальными подгруппами в G × H, причем |
|||
|
(G × H)/G˜ = H, (G × H)/H˜ = G. |
||
|
˜ |
˜ |
|
Подгруппы G и |
H часто отождествляют с G и H соответственно. |
||
Прямое произведение может быть охарактеризовано “внутрен- |
|||
ним” способом: |
|
|
|
Теорема 4.1 Группа K |
изоморфна прямому произведению |
||
групп G и H тогда и только тогда, когда в ней найдутся |
|||
|
|
˜ |
˜ |
нормальные подгруппы G |
и H, такие, что |
||
1) G˜ = G, H˜ = H, |
|
||
2) |
˜ ˜ |
|
|
GH = K, |
|
|
|
3) |
˜ ˜ |
|
|
G ∩ H = 1. |
|
||
Говорят, что группа разложима, если она изоморфна прямому произведению двух неединичных групп.
21
22 |
Раздел 4. Прямое произведение |
Прямое произведение нескольких групп G1 ×. . .×Gn задается аналогичной операцией:
(a1, . . . , an)(b1, . . . , bn) = (a1b1, . . . , anbn),
а теорема 4.1 превращается в следующее утверждение:
Теорема 4.2 Группа K изоморфна прямому произведению групп G1, . . . , Gn тогда и только тогда, когда в ней найдутся
|
|
|
˜ |
|
˜ |
|
нормальные подгруппы G1 |
, . . . , Gn такие, что |
|||||
1) G˜1 = G1, . . . , G˜n = Gn, |
|
|||||
2) |
˜ |
· . . . · |
˜ |
|
|
|
G1 |
Gn = K, |
|
˜ |
|
||
3) |
˜ |
˜ |
˜ ˜ |
|
для любого i = 1, . . . , n. |
|
Gi ∩(G1 ·. . .·Gi−1Gi+1 |
·. . .·Gn) = 1 |
|||||
* * *
4.1. Напишите таблицы умножения для Z(2) × Z(2), Z(3) × Z(3),
Z(2) × Z(2) × Z(2).
4.2. Пусть G = M × N, x = (a, b), a M, b N. Докажите, что
|x| = НОК(|a|, |b|).
4.3. Пусть НОД(m, n) = 1. Докажите, что Z(mn) Z(m) × Z(n).
=
4.4.* Пусть НОД(m, n) = 1. Докажите, что ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) (здесь ϕ – функция Эйлера).
4.5. Докажите, что C R × T.
= +
4.6. Разложимы ли группы а) Z,
б) Z(p) (p – простое), в) Z(4),
г) Z(10), д)* Q,
е) S3,
ж) Q+?
4.7. Пусть M, N C G, |M| = m, |N| = n, |G| = mn, НОД(m, n) =
1. Докажите, что G M × N.
=
4.8.* Пусть порядки групп G и H взаимно просты. Докажите, что каждая подгруппа группы G ×H имеет вид G1 ×H1, где G1 < G,
H1 < H.
Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков |
23 |
4.9. Найдите все подгруппы группы Z(3) × Z(3).
4.10.* Пусть G = A × B, K C G, A ∩ K = B ∩ K = 1. Докажите, что K содержится в центре G.
4.11. Пусть G = M × N. Проверьте, что:
а) C(G) = C(M) × C(N), б) G0 = M0 × N0.
4.12. Пусть G = H1 × . . . × Hn и Fi < Hi, i = 1, . . . , n. Докажите, что
F1 . . . Fn F1 × . . . × Fn.
=
4.13. Пусть G = A×B, A1 C A, B1 C B, Проверьте, что A1×B1 C
G и G/(A1 × B1) A/A1 × B/B1.
=
4.14. Пусть A < F < G = A×B. Докажите, что F = A×(F ∩B).
Р А З Д Е Л 5
Абелевы группы
Напомним, что группа G называется абелевой (или коммутативной), если ab = ba для всех a, b G. Циклические группы абелевы, прямое произведение абелевых групп также является абелевой группой.
Конечно порожденные (и, в частности, конечные) абелевы группы допускают полное описание:
Теорема 5.1 Любая конечно порожденная абелева группа изоморфна прямому произведению конечного числа циклических групп.
Представление из теоремы 5.1, вообще говоря, неоднозначно. Однако эту теорему можно уточнить. Конечная группа называется p-группой (где p – простое число), если ее порядок равен pα.
Теорема 5.2 Любая конечно порожденная абелева группа представима в виде прямого произведения бесконечных циклических групп и конечных циклических p-групп. Набор сомножителей в таком разложении определен однозначно с точностью до перестановок и изоморфизмов.
* * *
5.1. Найдите все абелевы группы порядка а) 72; б) 100; в) 180.
24
Е. А. Каролинский, Б. В. Новиков |
25 |
5.2. Сколько (с точностью до изоморфизма) существует абелевых групп порядка p21 . . . p2n, где p1, . . . , pn – попарно различные простые числа?
5.3. Пусть Ab(n) – число абелевых групп порядка n (с точностью до изоморфизма). Докажите, что:
а)* Если НОД(m, n) = 1, то Ab(mn) = Ab(m)Ab(n);
б) Если p – простое число, то Ab(pα) – число разбиений α (т.е. число представлений α в виде суммы натуральных слагаемых).
5.4.* Докажите, что абелева группа порядка pq (где p, q – простые числа, p 6= q) циклична.
5.5. Какие из следующих групп являются изоморфными: а) Z(6) × Z(36), Z(12) × Z(18), Z(9) × Z(24);
б) Z(6) × Z(10) × Z(10), Z(60) × Z(10), Z(6) × Z(100), Z(30) × Z(20)?
5.6.* Пусть G – конечная абелева группа, m делит |G|. Докажите, что существует H < G такая, что |H| = m.
5.7. Сколько подгрупп порядка p2 содержит группа Z(p2) ×Z(p3)?
5.8.* Пусть G – конечная абелева группа, F, H < G, причем
НОД(|F |, [G : H]) = 1.
Докажите, что F < H.
5.9. Опишите конечные абелевы группы, у которых все собственные факторгруппы цикличны.
5.10.* Докажите, что все собственные подгруппы группы
G = {z C | n : zpn = 1}
имеют вид hεki, где εk – первообразный корень степени pk из 1.
5.11. Докажите, что группа G из задачи 5.10 неразложима и не является конечно порожденной.
5.12. Пусть G – абелева группа и A = {x G | |x| < ∞}. Докажите, что A < G и G/A – группа без кручения (т.е. она не содержит элементов конечного порядка, кроме единицы).
26 |
Раздел 5. Абелевы группы |
5.13. Пусть G – абелева группа (записанная аддитивно), p – простое число,
hp(a) := max{r | x G : prx = a}.
Докажите, что
hp(a + b) ≥ min(hp(a), hp(b)),
причем если hp(a) 6= hp(b), то
hp(a + b) = min(hp(a), hp(b)).
Проверьте, что если 0 < c < 1, то dp(a, b) := chp(a−b) – метрика на множестве G.
5.14.* Докажите, что множество всех элементов бесконечного порядка абелевой группы G (если они существуют) порождают
G.
5.15. Абелева группа G (записанная аддитивно) называется делимой (или полной), если уравнение nx = a, где n N, a, x G, всегда разрешимо относительно x.
а) Проверьте, что группа Q делима;
б) Проверьте, что группа из задачи 5.10 делима;
в)* Докажите, что делимая группа G не имеет собственных подгрупп конечного индекса.
5.16.* Докажите, что группа Q не имеет максимальных по включению собственных подгрупп.