ан_геом(мтуси)_10 (1)

Вариант 21

1. Какая кривая определена уравнением 9x2 16y2 90x 32y 367 0? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с осями, параллельными осям координат, если он касается оси ординат в точке (0, 3) и пересекает ось абсцисс в точках (3, 0) и (7, 0) .

3. Заданы точки A 2, 4, 3 , B 1, 0, 2 , C 3, 1, 1 и D 0, 1, 1 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7. Пусть V3 – пространство геометрических векторов с базисом i , j,k . Найдите матрицу

оператора ортогонального проектирования на плоскость 2x 2y z 0 . (Оператор A ортогонального проектирования на плоскость задается формулой Ax x (x, n)n , где n – единичная нормаль плоскости.)

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 22

1. Какая кривая определена уравнением 4x2 8x y 7 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси абсцисс, если ее вершина расположена в точке ( 5, 0) , а на оси ординат она отсекает хорду, длина которой равна 32.

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение 4x2 9y2 36z2 16x 54y 72z 65 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

x1 2x2 x3 x4 x5 0,

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7. Пусть V3 – пространство геометрических векторов с базисом i , j,k . Найдите матрицу

оператора ортогонального проектирования на плоскость 5y 12z 0 . (Оператор A ортогонального проектирования на плоскость задается формулой Ax x (x, n)n , где n – единичная нормаль плоскости.)

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

Вариант 23

1. Какая кривая определена уравнением 16x2 9y2 64x 18y 199 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с центром в точке (2, 1) , если его малая ось равна 4, а одна из директрис задана уравнением y 5 0 .

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение 3x2 4y2 6z2 24x 8y 36z 122 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

x1 x2 x3 x5 1,

5. Исследуйте на совместность систему 3x1 x2 7x3 4x4 3x5 11,

7x1 x2 15x3 8x4 6x5 32,

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7.Пусть V2 – пространство геометрических векторов плоскости с базисом i , j . Найдите матрицу оператора симметрии относительно прямой x3 y 0 .

8.Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 24

1. Какая кривая определена уравнением 4x2 3y2 8x 12y 32 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с одним из фокусов, расположенном в начале координат, и соответствующей директрисой, заданной уравнением x 3 0 , если угол между асимптотами гиперболы равен 600 .

A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение 2x2 6y2 3z2 12x 24y 24z 30 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7.Пусть V2 – пространство геометрических векторов плоскости с базисом i , j . Найдите матрицу оператора симметрии относительно прямой y 3x .

8.Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

Вариант 25

1. Какая кривая определена уравнением 2y2 x 12y 14 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса, эксцентриситет которого равен 1/ 2 , директрисы задаются уравнениями y 5 и y 3 , зная, что этот эллипс проходит через точку (2, 3) .

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение 2y2 x2 3z2 4x 4y 24z 52 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7. Пусть x V2 – пространству геометрических векторов плоскости с базисом i , j .

Найдите матрицу оператора Ax (TP PT)x , где T – оператор поворота на угол , а P

6

– оператор проектирования на ось Ox .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 26

1. Какая кривая определена уравнением 4x2 3y2 18y 15 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы, если ее асимптоты задаются уравнениями x 3y 7 0 и x 3y 5 0 , а одна из директрис совпадает с осью ординат.

A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение x2 6y2 3z2 8x 12y 1 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7. Пусть x V2 – пространству геометрических векторов плоскости с базисом i , j .

Найдите матрицу оператора Ax (TS ST)x , где T – оператор поворота на угол , а

4

S – оператор симметрии относительно прямой x y 0 .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

Вариант 27

1. Какая кривая определена уравнением 2x2 3y2 20x 6y 22 0? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса, если его фокусы совпадают с точками F1 ( 2, 1) , F2 ( 2, 3) , а одна из вершин расположена в точке A(0, 1) .

3. Заданы точки A 1, 2, 0 , B 2, 3, 1 , C 1, 1, 2 и D 1, 2, 2 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение 4x2 y2 8x 4y 4z 12 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

x1 3x2 x3 14x4 x5 22,

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7. Пусть L3 – линейное пространство функций вида y(x) c1 c2 cos x c3 sin x с базисом

14 15

9.Дана матрица A линейного преобразования в некотором базисе. Укажите

6 5

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 28

1. Какая кривая определена уравнением 7x2 5y2 14x 20y 22 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с вершинами в точках A(3, 2) и B(5, 2) , если эксцентриситет гиперболы равен 3.

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение x2 4z2 4x 4y 8z 12 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

x1 2x2 x3 8x4 x5 4,

Вариант 29

1. Какая кривая определена уравнением 4x2 y2 8x 6y 9 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение параболы, если ее директриса задана уравнением y 4 0 , а фокус равсположен в точке F(2, 6) .

3. Заданы точки A 5, 1, 1 , B 1, 2, 1 , C 1, 1, 1 и D 1, 3, 3 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7. Пусть L3 – линейное пространство функций вида y(x) c1 c2 cos x c3 sin x с базисом

1,cos x,sin x . Найдите матрицу оператора A , ставящего в соответствие каждой y(x) L3

функцию Ay y(x / 6) y(x / 6) 2y(x) .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 30

1. Какая кривая определена уравнением x2 4y2 8x 20y 5 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с директрисами x 2 и x 4 , фокус которого расположен в точке F(0, 3) .

3. Заданы точки A 1, 4, 2 , B 0, 2, 1 , C 1, 1, 2 и D 2, 2, 1 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение 3x2 2z2 6y 8z 2 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

ex , xex , x2ex . Найдите матрицу оператора A , ставящего в соответствие каждой y(x) L3

функцию Ay y(x 1) y(x 1) .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы