ан_геом(мтуси)_10 (1)

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение y2 4x 6y 17 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

x1 3x2 6x4 10,

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7. Линейный оператор A каждой квадратной матрице второго порядка X ставит в

соответствие матрицу A(X ) X T 3 1 . Найдите матрицу оператора A в базисе

5 8

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 12

1. Какая кривая определена уравнением 4x2 9y2 4x 0? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с асимптотами x 2y 3 0 и x 2y 1 0 , если расстояние между ее фокусами равно 20.

Вариант 13

1. Какая кривая определена уравнением y2 6x 2y 17 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с эксцентриситетом 2 / 3, если один из его фокусов расположен в точке F1 (2, 3) и директриса, соответствующая второму фокусу, имеет уравнение 2y 7 0 .

3. Заданы точки A 0, 1, 2 , B 2, 1 , 1 , C 1, 1, 3 и D 2, 3, 0 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7. Линейный оператор A каждой квадратной матрице второго порядка X ставит в

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 14

1. Какая кривая определена уравнением 4x2 4x 12y 5 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с центром O(2, 3) , фокусом F1 (2, 1) и

эксцентриситетом 4 .

3. Заданы точки A 1, 3, 2 , B 3, 1, 1 , C 1, 2, 3 и D 0, 1, 1 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение 3z2 9y2 x2 6x 18y 6z 3 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

x1 3x2 2x4 6,

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

4 2 4 .

4 4 2

Вариант 15

1. Какая кривая определена уравнением 4x2 20x 12y 43 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с фокусами F1( 2, 1) , F2 (4, 1) и

директрисой x 5 .

A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение x2 y2 2z2 4z 2 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

x1 3x2 3x4 7,

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 16

1. Какая кривая определена уравнением 2x2 3y2 20x 6y 29 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение параболы с вершиной в точке A(2, 1) и фокусом

F(4, 1) .

3. Заданы точки A 2, 0, 1 , B 4, 1 , 1 , C 3, 2, 1 и D 1, 1, 0 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M – точка пересечения медиан ABC .

4. Приведите уравнение x2 y2 z2 2x 4y 2z 5 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

Вариант 17

1. Какая кривая определена уравнением 5x2 9y2 30x 18y 9 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с вершинами A(2, 3) и B(5, 1) , если известно, что оси эллипса параллельны координатным осям. Чему равен эксцентриситет эллипса?

3. Заданы точки A 2, 0, 1 , B 2, 1 , 1 , C 2, 3, 1 и D 0, 1, 3 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан ABC .

4. Приведите уравнение x2 4y2 9z2 6x 36z 99 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 18

1. Какая кривая определена уравнением 16x2 9y2 64x 54y 161 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с вершиной в точке A(4, 1) и

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение 2x2 y2 2z2 4x 4y 4z 7 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

2x1 x2 x3 x4 x5 5,

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7. Пусть V3 – пространство геометрических векторов с базисом i , j,k . Линейный

Вариант 19

1. Какая кривая определена уравнением 16x2 25y2 32x 100y 284 0 ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса, если он касается оси ординат в точке (0, 0) , а его центр расположен в точке (5, 0) . Эксцентриситет эллипса равен 4 / 5.

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение x2 2y2 4z2 2x 4y 1 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

2x1 2x2 x3 x4 x5 1,

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7. Пусть V3 – пространство геометрических векторов с базисом i , j,k . Линейный оператор A каждому вектору x V3 ставит в соответствие вектор Ax [a,[b, x]] , где

матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу A T 1 AT .

Вариант 20

1. Какая кривая определена уравнением x2 4x 4y 8 0? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с центром в точке ( 15, 0) и одним из фокусов, расположенном в начале координат, если гипербола отсекает от оси ординат хорду длиной 32 .

3. Заданы точки A 2, 5, 1 , B 1, 0, 2 , C 1, 1, 1 и D 1, 1, 0 . Найдите:

1) скалярное произведение (AC, AD) и угол ABC ; 2) векторное произведение [AB,CD] ;

3) смешанное произведение AB AC AD и объем пирамиды ABCD ; 4) проекцию точки A на прямую BD ; 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD ; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD , и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC .

4. Приведите уравнение 9x2 16y2 36z2 18x 64y 216z 253 0 к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

7. Пусть V3 – пространство геометрических векторов с базисом i , j,k . Линейный