vse_krome_dvukh_voprosov

Второй постулат Бора:

Излучение испускается или поглощается в виде квантов энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Энергия кванта (фотона) равна разности энергий стационарных состояний атома, между которыми происходит переход:

Здесь En - энергия стационарного состояния атома до перехода электрона;

Em - энергия стационарного состояния после квантового перехода электрона.

При En > Em фотон с энергией излучается, при En < Em атом поглощает фотон .

Как мы видим, постоянная Планка появляется у Бора дважды: первый раз она определяет стационарные состояния, второй - частоту излучения (или поглощения) при переходе атома из одного стационарного состояния в другое.

Применим условие стационарности состояния атома (4.2.). С помощью этого условия исключим из уравнения (4.1) скорость v. В результате для радиусов стационарных орбит rn получим:

Радиус первой орбиты (n = 1) называется первым боровским радиусом, его обозначают r0. Численное значение первого боровского радиуса:

Полная энергия E атома водорода в нашей модели равна сумме кинетической энергии

(mev2max)/2 и отрицательной потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром: (-e2)/(4πε0r), т.е.

Из уравнения движения электрона (4.1) заменим в (4.7) mv2/2 на e2/(8πε0r), тогда полная энергия атома водорода

Подставив сюда выражение для rn из (4.5), получим En - энергию стационарного состояния атома водорода, зависящую от главного квантового числа n:

Состояние атома водорода при главном квантовом числе n = 1 называется основным состоянием. Численное значение энергии основного состояния атома водорода:

С учетом значения E1 энергия стационарного состояния En имеет простой вид:

Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 5.4) для одномерного (по оси х) движения частицы.

Рис. 5.4

Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины l можно записать:

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером при E > U, либо отразится от него (E < U) и будет двигаться в обратную сторну, т.е. она не может проникнуть через барьер.

Для микрочастиц же, даже при E < U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E > U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области x > l, т.е. проникнет сквозь барьер. Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи.

Уравнение Шредингера для состояний каждой из выделенных областей имеет вид:

Общее решение этих дифференциальных уравнений:

(5.4.3)

В данном случае, согласно (5.4.2), – мнимое число, где

Можно показать, что A1 = 1, B3 = 0, тогда, учитывая значение q,получим решение уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:

(5.4.4)

В области 2 функция (5.4.4) уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени не мнимые, а действительные.

Качественный анализ функций Ψ1(x), Ψ2(x), Ψ3(x) показан на рис. 5.4. Из рисунка следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой.

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому квантовому явлению – туннельному эффекту, в результате которого микрообъект может пройти через барьер.

Коэффициент прозрачности для барьера прямоугольной формы .

Для барьера произвольной формы .

Прохождение частицы сквозь барьер можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса на отрезке x = l

составляет Связанная с этим разбросом кинетическая энергия

может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной и частица может пройти через барьер.

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при E < U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом.

Строгое квантово-механическое решение задачи о гармоническом осцилляторе приводит еще к одному существенному отличию от классического рассмотрения. Оказывается, что можно обнаружить частицу за пределами дозволенной области

(рис. 5.5), т.е. за точками 0 и l(рис. 5.1).

Рис. 5.5

Это означает, что частица может прибывать там, где ее полная энергия меньше потенциальной энергии. Это оказывается возможным вследствие туннельного эффекта.

Основы теории туннельных переходов заложены работами советских ученых Л.И. Мандельштама и М.А. Леонтовича в 1928 г. Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например α-распад, протекание термоядерных реакций).

Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля. Опыт Дэвиссона и Джермера.

Впервые гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально в опытах по дифракции электронов американскими физиками К. Дэвиссоном (C.Devisson) и Л. Джермером (L. Germer). Схема опыта представлена на рис.2. Параллельный моноэнергетический пучок электронов, получаемый с помощью электронно-лучевой трубки 1, направляется на мишень 2 (монокристалл никеля). Отраженные электроны улавливаются коллектором 3, соединенным с гальванометром. Коллектор можно устанавливать под любым углом относительно падающего луча.

Рассмотрим результаты опытов Дэвиссона и Джермера. Например, в одном из опытов наблюдалась дифракция электронов с энергией 54 эВ. Первый дифракционный максимум наблюдался под углом = 50о (см. рис.2). Импульс электрона связан с его кинетической

энергией формулой . Из формулы де Бройля определяем длину волны электронов:

В то же время по формуле Брегга для максимума первого порядка при дифракции на кристалле никеля с периодом решетки d = 0,091 нм получаем:

Оба результата хорошо совпадают, что подтверждает наличие волновых свойств у электронов.

Экспериментальная проверка волновой природы частиц продолжалась и в последующие годы. В 1928 - 30 гг. О. Штерн (O. Stern) и И. Эстерман (I. Estermann) провели опыты по дифракции атомов гелия, неона, молекул водорода и дейтерия на кристаллах.

Дифракция электронов на двух щелях

Наиболее наглядные экспериментальные результаты, подтверждающие волновую природу электронов, получены в опытах по дифракции электронов на двух щелях, выполненных впервые в 1961 г. К. Йѐнсоном. Эти опыты - прямая аналогия опыта Юнга для видимого света. Схема опыта представлена на рис. 3. Поток электронов, ускоренных разностью потенциалов 40 кВ, после прохождения двойной щели в диафрагме попадал на экран (фотопластинку). В тех местах, где электроны попадают на фотопластинку, образуются черные пятна. В результате попадания большого числа электронов на фотопластинке наблюдается типичная интерференционная картина в виде чередующихся максимумов и минимумов, полностью аналогичная интерференционной картине для видимого света.

Характерно, что все описанные результаты опытов по дифракции электронов наблюдаются и в том случае, когда электроны пролетают через экспериментальную установку "поодиночке". Этого можно добиться при очень малой интенсивности потока электронов, когда среднее время пролета электрона от катода до фотопластинки меньше, чем среднее время между испусканием двух последующих электронов с катода. На рис. 4 показаны фотопластинки после попадания различного числа электронов (экспозиция возрастает от рис. 4а к рис. 4в). Последовательное попадание на фотопластинку все бóльшего и бóльшего количества одиночных электронов постепенно приводит к возникновению четкой дифракционной картины. Описанные результаты означают, что в данном эксперименте электроны, оставаясь частицами, проявляют также волновые свойства, причем эти волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности, а не только системе из большого числа частиц.

Физический смысл волн де Бройля

Что же представляет собой электрон - волну или частицу? Ответ на этот вопрос таков - ни то, ни другое. В одних случаях электрон ведет себя как волна соответствующей длины (например, в опытах по дифракции), в других - как обычная частица (например, электроны в электронно - лучевой трубке). В отличие от механических волн, волна де Бройля не является распространением колебаний в какой-то упругой среде. Волна де Бройля - это математическая модель, описывающая поведение электронов в соответствующих условиях. После долгих дискуссий физики пришли к следующей интерпретации физического смысла волн де Бройля. Поведение микрочастиц носит вероятностный характер, а волна де Бройля - математический инструмент для расчета этой вероятности. В опытах по дифракции микрочастиц там, где интенсивность волн де Бройля максимальна, там вероятность обнаружить микрочастицу максимальна (дифракционный максимум). Наоборот, там, где интенсивность волн де Бройля минимальна, вероятность обнаружить микрочастицу минимальна (дифракционный минимум). Например, на рис. 3 показано распределение вероятности P12 попадания электронов в различные участки экрана на расстоянии x от центра. Максимальная вероятность соответствует дифракционному максимуму, нулевая вероятность - дифракционному минимуму. Более строго вероятность попадания микрочастицы в ту или иную область пространства рассчитывается с помощью так называемой волновой, или пси-функции ( - функции