vse_krome_dvukh_voprosov
.pdf
(220.4)
Общее решение дифференциального уравнения (220.3):
Так как по (220.2) y(0)=0, то В=0. Тогда
(220.5)
Условие (220.2) y(l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы
(220.6)
Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что
(220.7)
т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еn, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Еn частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения
энергии Еn называются уровнями энергии, а число п,определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еn, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.
Подставив в (220.5) значение k из (220.6), найдем собственные функции:
Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде
В результате интегрирования получим А = |
, а собственные функции будут иметь |
вид |
|
|
(220.8) |
Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энергии (220.7) при n = 1, 2, 3, приведены на рис. 297,а. На рис. 297,6 изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |yn(х)|2 = yn(х)y*n(х) для n=1,2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.
Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен
(220.9)
Например, для электрона при размерах ямы l=10–1 м (свободные электроны в металле) DEn » 10–35n Дж » 10–16n эВ, т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что
спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l»10–10 м), то для электрона DEn » 10–17n Дж »102n эВ, т. е. получаются явно
дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения
Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.
Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию
меньшую, чем минимальная энергия, равная 
. Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Dх частицы в «яме» шириной l равна Dx=l. Тогда, согласно соотношению неопределенностей (215.1), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Dp»h/l. Такому разбросу значений импульса
соответствует кинетическая энергия Emin»(Dp)2/(2m) = h2/(2ml2). Все остальные уровни (n>1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.
Из формул (220.9) и (220.7) следует, что при больших квантовых числах
(n>>1) DEn/En»2/n<<1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.
Вопр 3.3 Энергия электромагнитной волны
Объѐмная плотность энергии электромагнитного поля в линейной изотропной среде, как известно из электродинамики, даѐтся выражением (мы учли здесь также связь между векторами Е иН в электромагнитной волне):
Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны (то, что в теории упругих волн называется вектором Умова) называется вектором Умова-Пойнтинга, или чаще просто вектором
Пойнтинга Р: 
Объемная плотность энергии w электромагнитной волны. Поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени: Вектор
плотности потока электромагнитной энергии называется вектором Умова-Пойнтинга
:
Вопр 4.1 Суперпозиция волн
Принцип суперпозиции (наложения) волн заключается в следующем: в линейных средах волны распространяются независимо друг от друга, то есть волна не изменяет свойства среды, и другая волна распространяется так, будто первой волны нет. Это позволяет вычислять итоговую волну как сумму всех волн, распространяющихся в данной среде.
При сложении двух или более синусоидальных волн результирующая волна в общем случае уже не будет синусоидальной.
Рассмотрим в качестве примера результат сложения двух плоских однонаправленных волн с одинаковыми амплитудами и разными, но близкими частотами и волновыми числами:
Полученная волна не является синусоидальной, так как величина перед синусом (амплитуда волны) меняется со временем и координатой. Однако, если на длине волны (и в течении периода) еѐ изменения малы (что имеет место при малых dk и dw), волна ещѐ похожа на синусоиду; еѐ иногда
называют квазисинусоидальной. График этой волны представляет собой то, что мы в теории колебаний назвали биениями; однако здесь, в отличие от маятника, биения происходят не только во времени, но и в пространстве.
Стоячие волны
Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при их наложении возникают стоячие волны. Стоячие волны могут быть получены при отражении от препятствий
1.в стоячей волне не происходит перенос энергии, а лишь перекачка из Wp в Wk
2.фаза стоячей волны = wt
3.в бегущей волне амплитуда постоянна а в стоячей в разный момент времени разная
4.2 явление интерференции
Явление интерференции возникает при наложении когерентных волн.
Когерентные волны - это волны, имеющие одинаковые частоты, постоянную разность фаз, а колебания происходят в одной плоскости.
Результат суперпозиции волн зависит от того, в каких фазах накладываются друг на друга колебания.
Если волны от источников А и Б придут в точку С в одинаковых фазах, то произойдет усиление колебаний; если же — в противоположных фазах, то наблюдается ослабление колебаний.
Постоянное во времени явление взаимного усиления и ослабления колебаний в разных точках среды в результате наложения когерентных волн называется
интерференцией. В результате в пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных и ослабленных колебаний
Распределение энергии при интерференции.
Наличие минимума в точке С означает: энергия W сюда не поступает.
Наличие максимума в точке С означает: происходит увеличение за счет перераспределения энергии в пространстве. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, ТО при увеличении амплитуды в 2 раза энергия увеличивается в 4 раза. Это означает, что в точку С поступает энергия в 4 раза больше энергии одного вибратора при условии: энергии вибраторов равны.
Интерференция присуща волнам любой природы (механическим, электромагнитным).
Необходимые условия для наблюдения интерференции:
1)волны должны иметь одинаковые (или близкие) частоты, чтобы картина, получающаяся в результате наложения волн, не менялась во времени (или менялась не очень быстро, что бы еѐ можно было успеть зарегистрировать);
2)волны должны быть однонаправленными (или иметь близкое направление); две перпендикулярные волны никогда не дадут интерференции (попробуйте сложить две перпендикулярные синусоиды!). Иными словами, складываемые волны должны иметь одинаковые волновые векторы (или близконаправленные).
Волны, для которых выполняются эти два условия, называются КОГЕРЕНТНЫМИ. Первое условие иногда называют временной когерентностью, второе -
пространственной когерентностью.
Условия наблюдения интерференции
Рассмотрим несколько характерных случаев:
1. Ортогональность поляризаций волн.
При этом 
и 
. Интерференционные полосы отсутствуют, а контраст равен 0. Далее, без потери общности, можно положить, что поляризации волн одинаковы.
2.В случае равенства частот волн 
и контраст полос не зависит от времени экспозиции 
.
3.В случае 
значение функции 
и интерференционная картина не наблюдается. Контраст полос, как и в случае ортогональных поляризаций, равен 0
4.В случае 
контраст полос существенным образом зависит от разности частот и времени экспозиции.
4.3
Максимум интерференционной картины будет наблюдаться при условии синфазного сложения колебаний волн источников, которое имеет место при
. Исходя из связи между разностью фаз колебаний и оптической
разностью хода 
, можно заключить, что синфазное сложение колебаний имеет место при условии кратности оптической разности хода целому числу длин волны 
в среде :
, |
(4.8) |
где 
- произвольное целое число, равное 
.
Найдѐм координату 
, определяющую положение 
- ого максимума интерференционной картины:
|
|
, |
(4.9a) |
|
|
|
|
где |
- длина волны в вакууме, |
связанная с длиной волны |
в среде |
распространения с помощью формулы |
. |
|
|
Порядком интерференционного максимума называют его номер '
',
отсчитываемый от |
центрального ( |
), которому |
соответствует центр |
интерференционной |
картины , где |
складываются |
волны от источников, |
проходящие одинаковый путь (
) .
Аналогичным образом можно найти положения минимумов интерференционной
картины двух источников, определяемые координатами 
, если положить оптическую разность хода кратной нечѐтному числу полуволн:
. (4.9b)
где 
- произвольное целое число, равное 
.
Отсюда следует, что в рассматриваемой интерференционной картине положения соседних интерференционных максимумов и минимумов находятся на
одинаковом расстоянии друг от друга и не зависят от того, насколько эти максимумы удалены от центра интерференционной картины. Это свойство максимумов и минимумов позволяет определить ширину интерференционной полосы.
• Связь разности фаз Δφ колебаний с оптической разностью хода волн
Δφ=2πΔ/λ..
• Условие максимумов интенсивности света при интерференции
Δ=±kλ (k=0,l,2,3, …).
• Условие минимумов интенсивности света при интерференции
Δ=±(2k+1) (λ/2).
4.4. Примеры интерференции: двулучевая интерференция, интерференция при отражении от тонких пластинок, кольца Ньютона, многолучевая интерференция.
При наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в другихминимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией волн.
Двулучевая интерференция:
Под двулучевой интерференцией понимают интерференционную картину, возникающую при сложении двух световых волн одинаковой частоты. Расщепление первоначальной волны от источника на две и последующее их сведение на экране — общий признак всех двулучевых интерференционных схем.
Опыт Юнга:
Схема 1 — опыт Юнга — первый опыт по наблюдению интерференции света, осуществленный в 1827 г. Источником света служит ярко освещенная щель S. Свет, прошедший через 5, падает на две узкие щели S1 и S2. Световые пучки, прошедшие через
S1 и S2, уширяются вследствие дифракции. Интерференция наблюдается на экране в области перекрытия дифракционных пучков.
Интерференция при отражении от тонких пластинок:
При падении световой волны на тонкую прозрачную пластинку или пленку происходит отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают когерентные световые волны, которые могут интерферировать.
Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку падает параллельный пучок света, представленный на рис. 3 только одним лучом. Пластинка отбрасывает вверх два когерентных параллельных пучка света, из которых один образуется за счет отражения от верхней поверхности пластинки, второй — вследствие отражения от нижней поверхности. При входе в пластинку и при выходе из нее второй пучок претерпевает преломление. Кррме этих двух пучков пластинка отбросит вверх пучки, возникающие 'в результате трех-, пяти- и т. д. кратного отражения от поверхностей пластинки.
Интерференция в плоскопараллельной пластине:
Схема 4 — интерференция в плоскопараллельной пластинке. В таблице изображен общий случай произвольного расположения источника и плоскости наблюдения по отношению к плоскопараллельной пластинке. Свет, приходящий в точку наблюдения Р, можно рассматривать как свет от двух мнимых изображений источника S в двух гранях
пластинки. Интерференционная картина в пределах достаточно малой площади экрана состоит из почти параллельных интерференционных полос. Разность хода в данном интерференционном расположении есть:
Здесь h — толщина пластинки, n — показатель преломления, r — угол преломления. Дополнительное слагаемое λ/2 возникает из-за разных условий отражения света на двух гранях пластинки.
Кольца Ньютона:
Кольца Ньютона
Кольцевые полосы равной толщины, наблюдаемые в воздушном зазоре между соприкасающимися выпуклой сферической поверхностью линзы малой кривизны и плоской поверхностью стекла (рис. 8.13), называют кольцами Ньютона.