Sbornik_ispr

Тема 6

Алгоритм Форда и Фалкерсона поиска максимального потока в сети

1. Цель работы

Изучить и практически освоить алгоритм Форда и Фалкерсона поиска

максимального потока.

2.Задание

1.Изучить алгоритм Форда и Фалкерсона.

2.Используя алгоритм Форда и Фалкерсона, найти максимальный поток от вершины s к вершине t.

3.Теоретическая часть

Задача о максимальном потоке состоит в поиске способа пересылки максимального количества единиц потока из источника в сток при условии отсутствия превышения пропускных способностей ребер исходного графа.

Процедуру работы алгоритма рассмотрим на примере.

Пусть задан ориентированный граф, представленный на рис.6.1.

Пропускная способность указана на каждой ребре, например, в числе каналов.

Пусть каждое сообщение от источника в сток занимает по одному каналу на каждом из ребер, составляющих путь.

Рис. 6.1. Схема исходного ориентированного графа

52

Требуется найти максимальный поток П из источника s в сток t,

выраженный в числе каналов.

Используется процедура окрашивания ребер и вершин.

Будем считать, что перед началом работы алгоритма во всех ребрах поток является нулевым.

Итерация 1.

Шаг 1. Окрашивается вершина s, которой присваивается № 1.

Просматриваются неокрашенные ребра, инцидентные вершине s.

Могут быть окрашены ребро s-a и вершина a. Вершине а присваивается

№ 2.

Далее окрашиваются ребро s-b и вершина b. Вершине b присваивается №

3. Окрашиваются ребро s - c и вершина c. Вершине c присваивается № 4.

Шаг 2. Поскольку № 2 получила вершина а, то необходимо просмотреть неокрашенные ребра, инцидентные этой вершине. В результате такого просмотра окрашиваются ребра a-t и вершина t. Вершина t является стоком. По

пути s-a-t может быть пропущен поток, равный Пsat = min { vs-a, va-t } = min{ 2, 3 }= 2.

Шаг 3. Уменьшаем пропускную способность ребер s-a и a-t на две

единицы. После первой итерации схема графа показана на рис. 6.2.

53

Рис. 6.2 . Схема графа после итерации 1 Имеющаяся нумерация вершин и окраска ребер и вершин снимается,

кроме ребра s-a, на котором vs-a = 0. Реализуется вторая итерация.

Итерация 2.

Шаг 1. Окрашивается вершина s, которой присваивается №1. Просмотр неокрашенных ребер, инцидентных вершине s, приводит к окрашиванию: ребра s-b и вершины b -№2, ребра s-c и вершины с-№3.

Шаг 2. Просматриваются неокрашенные ребра, инцидентные вершине b.

Такое ребро одно b-t и вершина t. По пути s-b-t может быть пропущен поток,

равный

П = min {v s-b, v b-t} = min {3,2} = 2.

Шаг 3. Уменьшается пропускная способность ребер s-b и b-t на две единицы.

После итерации 2 схема графа показана на рис. 6.3.

c

Рис. 6.3. Схема графа после итерации 2.

Имеющаяся нумерация вершин и окраска ребер, кроме ребра b-t, снимается и выполняется третья итерация.

54

Итерация 3.

Шаг 1. Окрашивается вершина s - №1. Просмотр неокрашенных ребер, инцидентных s, приводит к окрашиванию:

ребра s-b и вершины b - №2; ребра s-c и вершины с - №3.

Шаг 2. Просмотр неокрашенных ребер, инцидентных вершине b, приводит к окрашиванию: ребра b-c и вершины с - №4.

Просмотр неокрашенных ребер, инцидентных вершине с, приводит к окрашиванию ребра c–t и вершины t. По пути s–b-c –t может быть пропущен поток, равный

П = min {v s – b , v b-c, vc – t }= min { 1, 1, 2 } = 1.

Уменьшается пропускная способность ребер s – b , b - c и c – t на единицу.

После итерации 3 схема графа показана на рис. 6.4.

Рис. 6.4. Схема графа после итерации 3

55

Имеющаяся нумерация вершин и окраска ребер, кроме ребер s – b и b - c,

на которых число каналов равно нулю, снимается и выполняется четвертая итерации.

Итерация 4.

Шаг 1. Окрашиваются вершина s - №1, неокрашенное инцидентное ребро

s - с и вершина с - №2.

Шаг 2. Просмотр неокрашенных ребер, инцидентных вершине c,

приводит к окрашиванию ребра с – t и вершины t. По пути s-с-t может быть пропущен поток П = min { vs – с , vc – t }= min { 3, 1 } = 1.

Шаг 3. Уменьшается пропускная способность ребер s – с, c – t на 1.

После итерации 4 схема графа приведена на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Схема графа после итерации 4

56

Дальнейшее увеличение сформированного потока невозможно. Работа

алгоритма закончена.

Процесс нахождения максимального потока можно представить в виде

таблицы итераций (таблица 6.1).

Таблица итераций 6.1

57

4. Варианты заданий

Исходные данные по двадцати вариантам представлены в таблице 6.2.

Вариант может выбираться, например, по двум последним цифрам номера зачетной книжки.

5. Содержание отчета.

1.Описание процедуры расчета по итерациям и шагам (при ручном расчете);

текст, структурная схема программы и результаты расчётов (при расчетах на

ПЭВМ).

2. Таблица итераций и величина максимального потока.

Литература

1.Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. – М.: Мир, 1984. 2.Теория сетей связи / Под ред. В.Н.Рогинского . – М., Связь, 1981. 3.Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. – М. Мир, 1966.

58

59