Тема 3.4. Транспортная задача линейного программирования

3.4.1. Введение

Цели изучения темы

• изучить понятие транспортной задачи;

• развить навыки решения транспортных задач при помощи метода потенциалов.

Требования к знаниям и умениям

Студент должен знать:

• понятие транспортной задачи;

• методы решения транспортной задачи.

Студент должен уметь:

• применять различные методы для решения транспортной задачи.

План изложения материала

1. Построение математической модели транспортной задачи.

2. Методы решения транспортных задач.

3. Метод потенциалов решения транспортных задач.

4. Вырожденность в транспортной задаче.

Структурная схема терминов

3.4.2. Построение математической модели транспортной задачи

Мы рассмотрели общие подходы к решению задач линейного программирования. Однако существуют частные типы задач линейного программирования, которые в силу своей структуры допускают решения более простыми методами. Мы остановимся только на одной из них – так называемой транспортной задаче.

Пример 1

Фирма должна отправить некоторое количество кроватей с трёх складов в пять магазинов. На складах имеется соответственно 15, 25 и 20 кроватей, а для пяти магазинов требуется соответственно 20, 12, 5, 8 и 15 кроватей. Стоимость перевозки одной кровати со склада в магазин приведены в таблице.

Склады	Магазины
	B1	B2	B3	B4	B5
A1	1	0	3	4	2
A2	5	1	2	3	3
A3	4	8	1	4	3

Как следует спланировать перевозку, чтобы её стоимость была минимальной?

Построение математической модели

Пусть Х_ij – количество кроватей, отправляемых со склада i в магазин j. Все Х_ij ≥ 0, и в силу ограничений на возможности поставки со складов (предложение) и спрос в магазинах они удовлетворяют следующим условиям:

(для предложения)

(для спроса)

Стоимость перевозок равна:

F = 1*Х₁₁+0*Х₁₂+3*Х₁₃+4*Х₁₄+2*Х₁₅+5*Х₂₁+ ... +4*Х₃₄+3*Х₃₅.

Таким образом, имеем следующую математическую модель:

Рассмотренная задача является задачей линейного программирования, но специального вида. Её результат можно обобщить на транспортную задачу общего вида.

Постановка транспортной задачи

Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А1, А2, ..., Аm соответственно в количествах а1, а2, ..., аm единиц, требуется доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В1, В2, ..., Вn соответственно в количествах b1, b2, ..., bn единиц. Стоимость перевозки (тариф) единицы продукции из Аi в Вj известна для всех маршрутов Ai, Bj и c_ij (i = 1, m; j = 1, n). Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз из пунктов отправления вывозится, и запросы всех пунктов потребления удовлетворяются (закрытая модель), т. е:

а суммарные транспортные расходы минимальны.

Математическая модель транспортной задачи

Будем называть любой план перевозок допустимым, если он удовлетворяет системам ограничений и требованиям неотрицательности.

Допустимый план, будем называть опорным, если в нем отличны от нуля не более m+n-1 базисных перевозок, а остальные перевозки равны 0.

План будет называться оптимальным, если он, среди всех допустимых планов, приводит к максимальной суммарной стоимости перевозок.