10.Атом водорода

Атом водорода — физическая система, состоящая из атомного ядра, несущего элементарный положительный электрический заряд, и электрона, несущего элементарный отрицательный электрический заряд. В состав атомного ядра может входить протон или протон с одним или несколькими нейтронами, образуя изотопы водорода. Электрон преимущественно находится в тонком концентрическом шаровом слое вокруг атомного ядра, образуя электронную оболочку атома. Наиболее вероятный радиус электронной оболочки атома водорода в стабильном состоянии равен боровскому радиусу a₀ = 0,529 Å.

Атом водорода имеет специальное значение в квантовой механике и релятивистской квантовой механике, поскольку для него проблема двух тел имеет точное или приближенное аналитическое решения. Эти решения применимы для разных изотопов водорода, с соответствующей коррекцией.

В квантовой механике атом водорода описывается двухчастичной матрицей плотности или двухчастичной волновой функцией. Также упрощенно рассматривается как электрон в электростатическом поле бесконечно тяжѐлого атомного ядра, не участвующего в

движении (или просто в кулоновском электростатическом потенциале вида 1/r). В этом случае атом водорода описывается редуцированной одночастичной матрицей плотности или волновой функцией.

Боровская теория атома водорода

Атом водорода - простейший из всех атомов. Его ядро - элементарная частица протон. Масса протона в 1836 раз больше массы электрона, вследствие этого ядро в первом приближении можно считать неподвижным и рассматривать только движение электрона

Заряд протона равен e, он положительный и равен по абсолютной величине заряду электрона, поэтому между ядром и электроном действует кулоновская сила притяжения.

здесь e = 1,6·10^-19 Кл - элементарный заряд.

При равномерном движении по окружности радиуса r нормальное ускорение электрона:

R ~ 10^-10 м.

Первый постулат Бора:

Существуют стационарные состояния атома, находясь в которых он не излучает электромагнитных волн.

Условие стационарности состояния атома - квантование момента импульса электрона L.

При движении электрона по круговой орбите радиуса r_n (n = 1,2,3,...) его момент импульса L_n = m_evr_n должен быть кратен постоянной Планка, деленной на 2π, т.е.

Здесь m_e - масса электрона; v - его скорость. Число n называют главным квантовым числом.

Так как , то с учетом этого обозначения условие квантования орбит будет иметь следующий вид:

Второй постулат Бора:

Излучение испускается или поглощается в виде квантов энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Энергия кванта (фотона) равна разности энергий стационарных состояний атома, между которыми происходит переход:

Здесь E_n - энергия стационарного состояния атома до перехода электрона;

E_m - энергия стационарного состояния после квантового перехода электрона.

При E_n > E_m фотон с энергией излучается, при E_n < E_m атом поглощает фотон .

Как мы видим, постоянная Планка появляется у Бора дважды: первый раз она определяет стационарные состояния, второй - частоту излучения (или поглощения) при переходе атома из одного стационарного состояния в другое.

Применим условие стационарности состояния атома (4.2.). С помощью этого условия исключим из уравнения (4.1) скорость v. В результате для радиусов стационарных орбит r_n получим:

Радиус первой орбиты (n = 1) называется первым боровским радиусом, его обозначают r₀. Численное значение первого боровского радиуса:

Полная энергия E атома водорода в нашей модели равна сумме кинетической энергии

(m_ev²_max)/2 и отрицательной потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром:

(-e²)/(4πε₀r), т.е.

Из уравнения движения электрона (4.1) заменим в (4.7) mv²/2 на e²/(8πε₀r), тогда полная энергия атома водорода

Подставив сюда выражение для r_n из (4.5), получим E_n - энергию стационарного состояния атома водорода, зависящую от главного квантового числа n:

Состояние атома водорода при главном квантовом числе n = 1 называется основным состоянием. Численное значение энергии основного состояния атома водорода:

С учетом значения E₁ энергия стационарного состояния E_n имеет простой вид