физика2

1

Тепловое излучение тел прямо не свидетельствует о квантовой природе электромагнитного поля. Однако именно объяснение его закономерностей заставило Планка ввести в физику постоянную Планка. Дело в том, что к концу 19в установленные законы термодинамики позволяли утверждать, что энергия в спектре излученного веществом электромагнитного поля, находящегося в равновесии с веществом, не зависит от его состава. Из теории Максвелла известно, что электромагнитное излучение заданной частоты возникает при колебаниях заряженного гармонического осциллятора. Поэтому представлялось возможным для точного расчета заменить вещество бесконечной системой осцилляторов разных частот. H=6.62*10-34

2

Фотоэффектом называется испускание электронов с поверхности металла под действием света.

В 1888 г. Г. Герц обнаружил, что при облучении ультрафиолетовыми лучами электродов, находящихся под высоким напряжением, разряд возникает при большем расстоянии между электродами, чем без облучения.

Ультрафиолетовые лучи, проходящие через сетчатый положительный электрод, попадают на отрицательно заряженную цинковую пластину и выбивают из нее электроны, которые устремляются к сетке, создавая фототек, регистрируемый чувствительным гальванометром.

Первый закон

Фототок насыщения пропорционален световому потоку, падающему на металл.

Т.к. сила тока определяется величиной заряда, а световой поток - энергией светового пучка, то можно сказать:

число электронов, выбиваемых за 1 с из вещества, пропорционально интенсивности света, падающего на это вещество.

Второй закон

Кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а зависит от его частоты.

Третий закон

для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, то есть существует наименьшая частота, при которой еще возможен фотоэффект.

частота _min

При < _min ни при какой интенсивности волны фотоэффект не произойдет.

Частоте света соответствует максимальная длина волны.

3

В этом опыте тонкую металлическую фольгу F устанавливали между двумя быстро­действующими счетчиками. Фольгу облучали слабым пучком рентгеновского излучения X, под действием которого она сама стано­вилась источником рентгеновского из­лучения. Вследствие весьма слабой ин­тенсивности первичного пучка количе­ство квантов, испускаемых фольгой, было достаточно мало. Если бы энергия этого излучения распространялась в виде сферических волн, то оба счетчика должны были бы срабаты­вать одновременно. Опыт, однако, показал, что счетчики реаги­ровали совершенно независимо друг от друга, и число совпаде­ний не превышало ожидаемого числа случайных совпадений. Все происходило так, как если бы излучение фольги F распро­странялось в виде отдельных квантов, которые могли попадать либо в один, либо в другой счетчик.

Свет по Эйнштейну — это по существу поток фо­тонов с энергией е. Свет распространяется в вакууме со скоростью с. Значит с такой же скоростью распространяются и фотоны. Таким образом, мы имеем дело с частицей, масса покоя ко­торой равна нулю. Фотон обладает не только энер­гией, но и импульсом. Фотон все же удобно рассмат­ривать с тех же позиций, что и частицы, обладающие массой. При этом следует особо подчеркнуть, что фотон не похож на обычную частицу, лишь некоторые свойства фотона напомина­ют свойства частицы.

Корпускулярно-волновой дуализм. Из опытных фактов сле­дует, что при взаимодействии с веществом свет обнаруживает корпускулярные свойства. Однако представление о свете как потоке классических корпускул несовместимо с классическими представлениями об электромагнитных волнах (которые под­тверждаются в явлениях интерференции и дифракции). Очевидно явное противоречие. Связаны корпускулярные и волновые свойства света. Сосуществование этих свойств и не может быть логически непро­тиворечиво объяснено классической физикой. С точки зрения по­следней понятия частицы и волны исключают друг друга. Представить себе такой объект, который совмещал бы несо­вместимое, — это выше возможностей нашего (классического) воображения. Опытные же факты вынуждают констатировать, что это так и есть, т. е. свет обнаруживает корпускулярно-волновой дуализм (двойственность). При этом фотон проявляет свои корпускулярно-волновые свойства в разных соотношени­ях: например, в области длинных волн — в основном волновые свойства, а в области коротких волн — корпускулярные.

4

Атом водорода — физическая система, состоящая из атомного ядра, несущего элементарный положительный электрический заряд, и электрона, несущего элементарный отрицательный электрический заряд. В состав атомного ядра может входить протон или протон с одним или несколькими нейтронами, образуя изотопы водорода. Электрон преимущественно находится в тонком концентрическом шаровом слое вокруг атомного ядра, образуя электронную оболочку атома. Наиболее вероятный радиус электронной оболочки атома водорода в стабильном состоянии равен боровскому радиусу a₀ = 0,529 Å.

Атом водорода имеет специальное значение в квантовой механике и релятивистской квантовой механике, поскольку для него проблема двух тел имеет точное или приближенное аналитическое решения. Эти решения применимы для разных изотопов водорода, с соответствующей коррекцией.

В квантовой механике атом водорода описывается двухчастичной матрицей плотности или двухчастичной волновой функцией. Также упрощенно рассматривается как электрон в электростатическом поле бесконечно тяжѐлого атомного ядра, не участвующего в движении (или просто в кулоновском электростатическом потенциале вида 1/r). В этом случае атом водорода описывается редуцированной одночастичной матрицей плотности или волновой функцией.

Боровская теория атома водорода

Атом водорода - простейший из всех атомов. Его ядро - элементарная частица протон. Масса протона в 1836 раз больше массы электрона, вследствие этого ядро в первом приближении можно считать неподвижным и рассматривать только движение электрона

Заряд протона равен e, он положительный и равен по абсолютной величине заряду электрона, поэтому между ядром и электроном действует кулоновская сила притяжения.

здесь e = 1,6·10^-19 Кл - элементарный заряд.

При равномерном движении по окружности радиуса r нормальное ускорение электрона:

R ~ 10^-10 м.

Первый постулат Бора:

Существуют стационарные состояния атома, находясь в которых он не излучает электромагнитных волн.

Условие стационарности состояния атома - квантование момента импульса электрона L.

Второй постулат Бора:

Излучение испускается или поглощается в виде квантов энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Энергия кванта (фотона) равна разности энергий стационарных состояний атома, между которыми происходит переход:

Здесь E_n - энергия стационарного состояния атома до перехода электрона;

E_m - энергия стационарного состояния после квантового перехода электрона.

При E_n > E_m фотон с энергией излучается, при E_n < E_m атом поглощает фотон.

1

В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью только оптических явлений, а имеет универсальный характер. Частицы вещества также обладают волновыми свойствами.

Если фотон обладает энергией  и импульсом, то и частица, движущаяся с некоторой скоростью, обладает волновыми свойствами, т.е. движение частицы можно рассматривать как движение волны.

Согласно квантовой механике, свободное движение частицы можно представить как плоскую монохроматическую волну (волну де Бройля), распространяющуюся в том же направлении, в котором движется частица.

При взаимодействии частицы с некоторым объектом – с кристаллом, молекулой и т.п. – её энергия меняется: к ней добавляется потенциальная энергия этого взаимодействия, что приводит к изменению движения частицы. Соответственно, меняется характер распространения связанной с частицей волны, причём это происходит согласно принципам, общим для всех волновых явлений. Поэтому основные геометрические закономерности дифракции частиц ничем не отличаются от закономерностей дифракции любых волн.

2

Начав со сложных математических формул, описывающих мир на субатомном уровне, Гейзенберг постепенно пришел к удивительной по простоте формуле, дающий общее описание эффекта воздействия инструментов измерения на измеряемые объекты микромира, о котором мы только что говорили. В результате им был сформулированпринцип неопределенности, названный теперь его именем: неопределенность значения координаты x неопределенность скорости > h/m, математическое выражение которого называется соотношением неопределенностей Гейзенберга: Δx х Δv > h/m, где Δx — неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, Δv — неопределенность скорости частицы, m — масса частицы, а h — постоянная Планка, названная так в честь немецкого физика Макса Планка, еще одного из основоположников квантовой механики. Постоянная Планка равняется примерно 6,626 x 10^–34 Дж·с.

3

Тепловое излучение — электромагнитное излучение, испускаемое нагретыми телами за счет своей внутренней энергии.

Абсолютно черное тело — тело, поглощающее всю энергию падающего на него излучения любой частоты при произвольной температуре.

Энергия кванта излучения прямо пропорциональна частоте v излучения:

где h = 6,6 • 10^-34Дж • с — постоянная Планка.

Фотон — микрочастица, квант электромагнитного излучения.

Фотоэффект— явление вырывания электронов из твердых и жидких веществ под действием света.

Законы фотоэффекта

Фототок насыщения прямо пропорционален интенсивности света, падающего на катод.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов прямо пропорциональна частоте света и не зависит от его интенсивности.

Для каждого вещества существует минимальная частота света, называемая красной границей фотоэффекта, ниже которой фотоэффект невозможен.

Энергия фотона идет на совершение работы выхода и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии. Работа выхода— минимальная работа, которую нужно совершить для удаления электрона из металла.

Корпускулярно-волновой дуализм — проявление в поведении одного и того же объекта как корпускулярных, так и волновых свойств. Корпускулярно-волновой дуализм — универсальное свойство любых материальных объектов.

Волновая теория правильно описывает свойства света при больших интенсивностях, т.е. когда число фотонов велико.

Квантовая теория используется при описании свойств света при малых интенсивностях, т.е. когда число фотонов мало.

Первый постулат Бора:

Существуют стационарные состояния атома, находясь в которых он не излучает электромагнитных волн.

Условие стационарности состояния атома - квантование момента импульса электрона L.

Второй постулат Бора:

Излучение испускается или поглощается в виде квантов энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Энергия кванта (фотона) равна разности энергий стационарных состояний атома, между которыми происходит переход:

Здесь E_n - энергия стационарного состояния атома до перехода электрона;

E_m - энергия стационарного состояния после квантового перехода электрона.

При E_n > E_m фотон с энергией излучается, при E_n < E_m атом поглощает фотон.

В координатном представлении волновая функция зависит от координат (или обобщѐнных координат) системы. Физический смысл приписывается квадрату еѐ модуля , который интерпретируется как плотность вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами в момент времени :

.

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой

функцией , можно рассчитать вероятность того, что частица будет обнаружена в любой области конфигурационного пространства конечного объема

4

5

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрѐдингера.

Пусть волновая функция задана в n-мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами

, в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком

случае уравнение Шрѐдингера запишется в виде:

где , — постоянная Планка; — масса частицы, — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке в момент времени , — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:

Стационарное уравнение Шрѐдингера

Форма уравнения Шрѐдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального

случая, когда не является функцией времени, можно записать в виде:

где функция должна удовлетворять уравнению:

которое получается из уравнения Шрѐдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для (2). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

6

Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(x) = const и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид

Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения является функция y(х) = Аеikx , где А = const и k = const, с собственным значением энергии

Функци представляет собой только координатную часть волновой функции Y(x, t). Поэтому зависящая от времени волновая функция:

Функция представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля.

Из выражения следует, что зависимость энергии от импульса

оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

В пределах «ямы» (0 £ х £ l) уравнение Шредингера (220.1) сведется к уравнению

Или

Где

7

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

В пределах «ямы» (0 £ х £ l) уравнение Шредингера сведется к уравнению

Тогда

Условие y(l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е_n, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Е_n частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е_n называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е_n, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.

найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде

собственные функции будут иметь вид

энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен

Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная . Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Dх частицы в «яме» шириной l равна Dx=l. Тогда, согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Dp»h/l. Такому разбросу значений импульса

соответствует кинетическая энергия E_min»(Dp)²/(2m) = h²/(2ml²). Все остальные уровни (n>1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.

при больших квантовых числах (n>>1) DE_n/E_n»2/n<<1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается.

8

Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины l можно записать:

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером при E > U, либо отразится от него (E < U) и будет двигаться в обратную сторону, т.е. она не может проникнуть через барьер.

Для микрочастиц же, даже при E < U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E > U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области x > l, т.е. проникнет сквозь барьер. Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи.

Прохождение частицы сквозь барьер можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса на отрезке x = l

составляет Связанная с этим разбросом кинетическая энергия

может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной и частица может пройти через барьер.

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при E < U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом.

Строгое квантово-механическое решение задачи о гармоническом осцилляторе приводит еще к одному существенному отличию от классического рассмотрения. Оказывается, что можно обнаружить частицу за пределами дозволенной области

Это означает, что частица может прибывать там, где ее полная энергия меньше потенциальной энергии. Это оказывается возможным вследствие туннельного эффекта.