5.1. 2.5 . Криволинейный интеграл меняет знак при перемене направления интегрирования:

5.1. 2.6. Если область , ограниченную замкнутой линией разбить на две области и , то криволинейный интеграл по линии будет равен сумме интегралов, взятых в том же направлении по линиям и (на черт. и соответственно), ограничивающим области и

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Формула Грина. формула Грина , где граница области и интегрирование по производится против часовой стрелки (в положительном направлении). Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. 5.1. 4.2.1. Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования (зависел только от начальной и конечной точки), необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому контуру был равен . (Доказательство самостоятельно. см. А.Р.Лакерник. Высшая математика. Краткий курс)

5.1. 4.2. 2. Теорема. (без док-ва) Если функции и непрерывны вместе со своими частными производными в односвязной области то для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от линии интегрирования, лежащей в области , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области выполнялось равенство .

5.1. 4.2. 3.Теорема. (без док-ва) Если функции и непрерывны вместе со своими частными производными в односвязной области , то выполнение во всех точках области равенства является необходимым и достаточным условием того, что выражение является полным дифференциалом. Четыре равносильных утверждений для двух непрерывных вместе со своими частными производными в односвязной области функций. 1. Криволинейный интеграл по любой замкнутой линии равен

2. Криволинейный интеграл не зависит от линии интегрирования.

3. Выражение является полным дифференциалом.

4. Во всех точках области выполняется равенство Интегрирование полных дифференциалов. Если является полным дифференциалом какой-нибудь функции , то эта функция выражается через криволинейный интеграл следующим образом: где криволинейный интеграл вычисляется по любой линии от произвольной точки до переменной точки (без доказательства),

или

Криволинейные интегралы по пространственным линиям. Поверхностный интеграл.

Криволинейный интеграл первого рода по пространственным линиям и его вычисление. Криволинейным интегралом первого рода (по длине) (по линии ) называется предел интегральной суммы при условии, что наибольшая длина участка разбиения стремится к нулю.

Вычисление криволинейного интеграла первого рода по пространственной линии. (Без доказательства) Пусть линия задана параметрическими уравнениями: и , тогда.

Криволинейный интеграл второго рода по пространственным линиям и его вычисление Криволинейным интегралом второго рода (по координатам) (по линии ) называется предел интегральной суммы при условии, что наибольшая длина участка разбиения стремится к нулю.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода по пространственной линии.(Без доказательства) Пусть линия задана параметрическими уравнениями и , тогда

Поверхностные интегралы первого и виорого рода

Поверхности в трехмерном пространстве. Пусть в пространстве задана поверхность. Пусть через точку этой поверхности в некоторой ее окрестности можно провести линии, целиком принадлежащие поверхности. Если все касательные к этим линиям в точке лежат в одной плоскости, то она называется касательной плоскостью. В этом случае точка называется обыкновенной точкой поверхности. Если все точки поверхности обыкновенные, то поверхность называется гладкой.

6. 1.1.Пусть в пространстве неявно задана поверхность . Эта поверхность является гладкой, если частные производные в каждой ее точке непрерывны и одновременно не равны нулю. (Без доказательства)

В случае, когда поверхность задана явно: , то она является гладкой, если частные производные и непрерывны. (Доказать самостоятельно)

6. 1.2. Определение. Пусть в каждой точке поверхности определена касательная плоскость. Вектор , проходящий через точку касания перпендикулярно касательной плоскости, называется вектором нормали (нормалью) к поверхности. Его координаты равны(без доказательства). В случае, когда поверхность задана явно: координаты нормали имеют вид (почему?). Если длина вектора нормали равна 1, то он называется единичным вектором нормали. . Координаты единичного вектора нормали : Двусторонняя поверхность. Пусть гладкая поверхность. Тогда в каждой точке можно выбрать одно из возможных направлений нормали, зафиксировав определенный единичный вектор нормали: , где координатные орты.

6.2. 1. Определение. Гладкая поверхность называется двусторонней, если направление нормали в любой точке , принадлежащей поверхности, при обходе по любому замкнутому контуру, проходящему через и не пересекающему границы поверхности, при возвращении в точку совпадает с исходным. Совокупность всех точек поверхности с выбранными в них по непрерывности направлениями нормали называется стороной поверхности. Положительным направлением обхода контура называется такой, при движении по которому область, ограниченная контуром, остается слева. Направление обхода контура, противоположное положительному, называется отрицательным. Если на поверхности есть хотя бы одна точка и один, не пересекающий границу поверхности контур, при обходе которого направление вектора изменится на противоположное, то поверхность называется односторонней. (Например, Лист (Лента) Мёбиуса или Бутылка Клейна)

Поверхностный интеграл первого рода. Определение и свойства поверхностного интеграла первого рода. Определение. Пусть гладкая поверхность и непрерывная функция трех переменных , заданная на поверхности . Разобьем поверхность на частей. Пусть площадь го участка поверхности. На каждом участке возьмем произвольную точку и построим интегральную сумму:

Поверхностным интегралом первого рода (по поверхности ) называется предел интегральной суммы при условии, что наибольший диаметр участка разбиения стремится к нулю.

Свойства

6.3.2.1. равен площади поверхности . 6.3.2.2.Линейное свойство. 6.3.2.3. Если поверхность разбита на части и , то. 6.3.2.4. Если во всех точках поверхности, то . 6.3.2.5.. 6.3.2.6. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на поверхности , то на этой поверхности существует точка такая, что площадь поверхности . Вычисление поверхностного интеграла первого рода. Пусть поверхность задана уравнением , где функция и ее частные производные непрерывны в области (проекция поверхности на плоскость ), тогда

Поверхностный интеграл второго рода. Определение и свойства поверхностного интеграла второго рода. Определение Поверхностным интегралом второго рода (по поверхности ) называется предел интегральной суммы при условии, что при наибольший диаметр участка разбиения стремится к нулю.

Аналогичным образом (самостоятельно) определяются поверхностные интегралы второго рода: Свойства 6.4.2.1. Поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности. 6.4.2. 2.Линейные свойства: а) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. б) Интеграл суммы равен сумме интегралов. 6.4.2. 3. Если поверхность разбита на две непересекающиеся части и , то интеграл по поверхности равен сумме интегралов по ее частям: 6.4.2. 4. а) Если цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси , то . б) Если цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси , то… (сформулировать и доказать самостоятельно) в) Если цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси , то… (сформулировать и доказать самостоятельно) Вычисление поверхностного интеграла второго рода. а) Пусть двусторонняя поверхность заданная уравнением , где непрерывная функция, заданная в замкнутой области которая является проекцией поверхности на плоскость , а непрерывная функция на поверхностиТогда .

б) (Условия, при которых имеет место эта формула, записать самостоятельно). Интеграл равен 0, если угол между нормалью к поверхности и осью равен , то есть поверхностьцилиндрическая с образующими, параллельными оси.

в) (Условия, при которых имеет место эта формула, записать самостоятельно). Интеграл равен 0, если угол между нормалью к поверхности и осью равен , то есть поверхностьцилиндрическая с образующими, параллельными оси

Теория поля.

Скалярное поле. Определение. Если в каждой точке области задано число (на множестве задана скалярная функция точки ), то множество вместе с числами, определяемыми этой функцией, называется скалярным полем. Если принадлежит плоскости, поле называется плоским. Пусть введена система координат , тогда скалярное поле записывается как функция двух переменных . Поверхности уровня. Поверхностью уровня скалярного поля называется множество его точек, в которых скалярная функция имеет постоянное значение:

(произвольная постоянная). Производная скалярного поля по направлению. Величина, которая характеризует скорость изменения скалярного поля в точкев направлении вектора , называется производной поля по направлению.

Производной скалярного поля в точке по направлению называется . Градиент. Свойства градиента. Определение Градиентом скалярного поля (функции) называется вектор, координатами которого служат значения частных производных этой функции:

Свойства градиента.

1) (Линейное свойство) 2) 3) Векторное поле. Если в каждой точке области задан вектор, то множество вместе с соотнесенными к этим точкам векторами называется векторным полем. Если в области введена система координат, то . Векторные линии. Векторными линиями векторного поляназываются линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором поля. Поток вектора. Потоком вектора (потоком векторного поля) через поверхность называется предел интегральной суммы при условии, что наибольший диаметр участка разбиения стремится к нулю. Дивергенция. Дивергенцией (расходимостью векторного поля ) в точке называется предел отношения потока вектора через поверхность, окружающую точку к объему , ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку. Формула Остроградского-Гаусса. Поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью. (Без доказательства.)

Дифференциальные уравнения І порядка

Геометрический смысл дифференциального уравнения І порядка и его решения. Дифференциальное уравнение І порядка задает на координатной плоскости поле направлений. Его решение определяет множество (однопараметрическое семейство) интегральных кривых, для которых в каждой точке плоскости направление касательной совпадает с направлением поля.

Задание начальных условий это задание точки , через которую проходит кривая семейства . Векторные линии векторного поля. Векторными линиями векторного поля(см.7.3.1.) называются линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором поля. Уравнения векторных линий. Семейство векторных линий поля определяется из системы дифференциальных уравнений: (без доказательства). Замечание. В случае плоского векторного поля (см. 7.3.2.), векторные линии определяются уравнениями: Теорема Коши для уравнения І порядка. Пусть дано уравнение и начальные условия: . Если функция и частная производная непрерывны в некоторой открытой области , содержащей точку , то в достаточно малом интервале дифференциальное уравнение имеет единственное частное решение такое, что

Замечание1. Из теоремы Коши следует, что в области уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Действительно, считая постоянным и изменяя в некоторых пределах, получим для каждогосвое решение . Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными.

(Другая форма уравнения с разделяющимися переменными: ). Линейные дифференциальные уравнения І порядка. Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением І порядка.

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Определение дифференциального уравнения ІІ порядка. Дифференциальным уравнением ІІ порядка называется дифференциальное уравнение, содержащее производную второго порядка неизвестной функции.

Дифференциальное уравнение ІІ порядка помимо производной второго порядка неизвестной функции может содержать также независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной, ее производную первого порядка.

уравнение, решенное относительно .

уравнение, не решенное относительно .

Пример.. Определение общего и частного решения дифференциального уравнения ІІ порядка . Решением дифференциального уравнения ІІ порядка называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вместе с первой и второй производными превращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение І порядка имеет бесчисленное множество решений, которые определяются формулой (в явном виде) или (в неявном виде), содержащей две произвольные постоянные и . Это множество решений называется общим решением дифференциального уравнения второго порядка. Геометрический смысл решения дифференциального уравнения ІІ порядка. Решение дифференциального уравнение І порядка зависит от двух постоянных и определяет так называемое двухпараметрическое семейство кривых. Через каждую точку проходит бесчисленное множество кривых семейства. Для определения линии этого семейства надо кроме точки задать также угловой коэффициент касательной к линии в этой точке (геометрический смысл начальных условий). Теорема Коши для уравнения II порядка. Пусть дано уравнение и начальные условия: Если функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой открытой области , содержащей точку , то в достаточно малом интервале дифференциальное уравнение имеет единственное частное решение такое, что

рассматривается как функция трех переменных. Частные случаи дифференциальных уравнений ІІ порядка (уравнения, допускающие понижение порядка). 8.9. 1.Уравнения вида: .

Решение: . 8.9. 2. Уравнения вида: (уравнение не содержит ).

Решение заключается в замене Тогда .

После замены уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно : . Решив это уравнение и проведя обратную замену получим уравнение первого порядка.

Если решение этого уравнения имеет вид , то искомое решение получим интегрированием равенства.

Линейные дифференциальные уравнения ІI порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения ІІ порядка (уравнения без правой части): Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением ІІ порядка называется уравнение вида ( правая часть уравнения равна 0).

Пример. Теоремы о решениях линейного однородного дифференциального уравнения ІІ порядка. Теорема . Еслии решения Л.О.Д.У. , то функция при любых постоянных и также является решением этого уравнения.

Функции и называются линейно независимыми, если их отношение не равно постоянной величине.

Если и линейно независимые решения Л.О.Д.У. , то функция , где и произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения (без доказательства).

Если является решением Л.О.Д.У.. с действительными коэффициентами, то функции и являются его решениями. Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений ІІ порядка (Л.О.Д.У.) с постоянными коэффициентами. Уравнение называется характеристическим для дифференциального уравнения a) Общее решение дифференциального уравнения имеет вид.

Пример. . b) Общее решение дифференциального уравнения в этом случае имеет ви c) Общее решение дифференциального уравнения в этом случае имеет вид. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения ІІ порядка (уравнения с правой частью): Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением ІІ порядка (Л.Д.У.) называется уравнение вида. Линейное дифференциальное уравнение ІІ порядка содержит неизвестную функцию и ее производные только в первой степени). правая часть уравнения.

Пример. Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения ІІ порядка. Теорема. Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения равна сумме двух функций , а решения соответственно уравнений и , тогда функция будет решением данного уравнения. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы его частного решения и общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ІІ порядка методом вариации произвольного постоянного. Метод вариации произвольного постоянного это метод, позволяющий отыскивать частное решение Л.Н.Д.У. (уравнения с правой частью)

Пусть соответствующее ему однородное уравнение имеет общее решение.

Будем искать частное решение уравнения в виде

,

где и неизвестные функции, а и частные решения соответствующего однородного уравнения.

Продифференцируем :

. Введем дополнительное условие: ,

тогда

и .

Подставим функцию и ее производные и с учетом дополнительного условия в уравнение .

.

Выражения в скобках равны 0, так каки решения уравнения, и получается, что должно выполняться условие .

Условия и дают систему уравнений относительно и :

.

Определитель этой системы не равен 0 (без доказательства).

Из системы определяются сначала и , а затем интегрированием и сами функции и , подставив которые в получим искомое частное решение :

.

Записываем общее решение уравнения с правой частью (см. 9.4.2.2. Теорема): .(Здесь произвольные постоянные).

Пример

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (уравнения со специальной правой частью).Числовые ряды.

Линейные дифференциальные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением ІІ порядка (Л.Н.Д.У.) с постоянными коэффициентами и специальной правой частью называется уравнение вида у которого постоянные величины, правая часть имеет вид ), где и действительные числа, а и многочлены соответственно степеней и Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Отыскание частного решения уравнения со специальной правой частью

где производится по тем же правилам, что и для уравнений второго порядка (см. 10.1. ).

Это решение имеет вид: , где и некоторые многочлены степени , кратность корня в характеристическом уравнении

Числовые ряды. Функциональные ряды .

Понятие о числовых рядах. Выражение называется числовым рядом, а числа членами ряда. называется общим или «энным» членом ряда.

Ряд называется заданным, если для любого натурального можно указать правило, по которому определяется соответствующий член ряда: . Частичная сумма ряда. Сумма первых членов ряда называется й частичной суммой ряда.

последовательность частичных сумм. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Если конечный предел последовательности частичных сумм

существует, то ряд называется сходящимся, если он не существует- то расходящимся. Свойства сходящихся рядов (1-3). 10.3.2.1. Если ряд сходится и имеет сумму, то ряд сходится и имеет сумму .

10.3.2.2. Если ряды и сходятся и имеют соответственно суммы и , то ряд тоже сходится и его сумма равна 10.3.2.3. Если ряд сходится, то ряд, полученный из данного путем приписывания или отбрасывания конечного числа членов, тоже сходится. Остаток ряда. Разность между суммой сходящегося ряда и его частичной суммой называется м остатком ряда ().

Остаток ряда это сумма бесконечного ряда (его сходимость вытекает из свойства 10.3.2.3. сходящихся рядов). Необходимый признак сходимости числового ряда. Если числовой ряд сходится, предел (при ) общего члена ряда равен 0. Достаточный признак расходимости числового ряда. Если предел (при ) общего члена ряда не равен 0, то ряд расходится.

Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости. Лемма. Если частичные суммы ряда с положительными членами ограничены сверху:

, то ряд сходится.

Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность имеет предел по теореме Вейерштрасса, следовательно, конечный предел последовательности частичных сумм существует, и ряд является сходящимся. Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами (Признак сравнения, признак сравнения в предельной форме, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Признак сравнения. Теорема. Пусть даны два ряда с положительными членами:

и ,

и пусть, начиная с некоторого номера выполняется условие.

Тогда:

а) Если рядсходится, то ряд сходится.

б) Если рядрасходится, то ряд расходится.

Признак сравнения в предельной форме. Если , то ряды и одновременно оба сходятся или оба расходятся. Признак Даламбера.

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный (предел отношения последующего члена ряда к предыдущему), то если то ряд сходится, если то ряд расходится.

Радикальный признак Коши. Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный , то если то ряд сходится, если то ряд расходится. Интегральный признак Коши.

Теорема. Пусть дан ряд члены которого являются значениями положительной непрерывной функции при целых положительных значениях аргумента

и пусть монотонно убывает в интервале .

Тогда:

а) если сходится несобственный интеграл, то ряд сходится,

б) если расходится несобственный интеграл, то ряд расходится. Гармонический ряд. Ряд называется гармоническим. Гармонический ряд расходится.

Ряды с произвольными членами. Знакочередующиеся ряды. Ряд вида называется знакочередующимся.

Замечание. Знакочередующийся ряд в общем виде можно записать так: Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряду абсолютные величины членов ряда убывают , и общий член стремится к нулю , то ряд сходится. Сумма ряда по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого члена ряда. Следствие (оценка остатка ряда). Остаток ряда, удовлетворяющего теореме Лейбница, не превышает по абсолютной величине модуля первого отбрасываемого члена. .

Действительно, остаток ряда представляет собой ряд, удовлетворяющий теореме Лейбница, и, поэтому его сумма не превышает по модулю .

Ряды с произвольным распределением знаков. Абсолютная сходимость. Достаточный признак сходимости. Пусть дан ряд с произвольным распределением знаков. Если ряд, составленный их абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то и данный ряд сходится. Определение абсолютно сходящегося ряда. Ряд, абсолютные величины членов которого образуют сходящийся ряд, называется абсолютно сходящимся. Понятие о функциональных рядах. Ряды, членами которых являются функции, называются функциональными рядами:

Предполагается, что все функцииопределены и непрерывны на одном и том же интервале, конечном или бесконечном. Определение точки сходимости ряда, области сходимости ряда, точки абсолютной сходимости ряда. 11.4.1.2. Определение. Точка называется точкой сходимости ряда, если числовой ряд сходится.

Множество всех точек сходимости называется областью сходимости ряда.

11.4.1.3. Определение. Точка называется точкой абсолютной сходимости ряда, если числовой ряд сходится абсолютно Мажорируемые ряды. Определение. Функциональный ряд называется мажорируемым рядом в области, если в этой области все его члены не превосходят по абсолютной величине членов некоторого числового сходящегося ряда с положительными членами.

То есть, в области выполняется неравенство:, где член сходящегося числового ряда , который называется мажорантой или мажорирующим (усиливающим) по отношению к данному ряду. Свойства мажорируемых рядов. Теорема 1. Если ряд из непрерывных функций мажорируемый в областито его сумма является непрерывной функцией в этой области.

Теорема 2. Если ряд, составленный из непрерывных функций, мажорируемый в области , то интеграл от суммы ряда в этой области равен сумме ряда, составленного из интегралов этих функций.

.

Мажорируемый ряд можно почленно интегрировать.

Теорема 3. Пусть ряд , составленный из функций, имеющих непрерывные производные в области, имеет сумму, тогда ряд, состоящий из производных этих функций , является мажорируемым в этой области.

Сумма ряда , состоящего из производных, равна . .

Если ряд, составленный из производных членов заданного ряда, мажорируемый, то заданный ряд можно почленно дифференцировать. Равномерно сходящиеся ряды. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в области если для любого существует такое (не зависящее от), что для всех выполняется неравенство.

Всякий, мажорируемый в области ряд является равномерно сходящимся в этой области Степенные ряды. Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд , где коэффициенты степенного ряда.

В частности при , ряд будет иметь вид: . Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке, то он сходится абсолютно во всех точках интервала, то есть при любом , удовлетворяющем неравенству.

0

Область сходимости степенного ряда. 1) Область сходимости состоит из одной точки . Пример. Ряд расходится при всех кроме , так как общий член ряда не стремится к нулю при любом .

2) Область сходимости состоит всех точек числовой оси.

Пример. Ряд сходится при всех . 3) Область сходимости состоит более чем из одной точки числовой оси, причем на оси есть также точки, в которых ряд расходится. Пример. Ряд сходится при всех . При этот ряд расходится.

Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что множество точек сходимости степеного ряда образует некоторый интервал с центром в начале координат.

Можно сказать, что для такого степенного ряда существует такое положительное число что при ряд сходится, а при ряд расходится. Радиус сходимости степенного ряда. Радиусом сходимости степенного ряда называется положительное число такое, что при ряд сходится, а при ряд расходится. Интервал называется областью сходимости.

Свойства степенных рядов. 12.4.1. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости.

.

12.4. 2. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать в интервале сходимости любое число раз.

а) , или

б)

Получившиеся ряды имеют тот же радиус сходимости, что и данный. Лемма1, Лемма 2, Свойства: 1. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости. Лемма1. Степенной ряд является мажорируемым в любом интервале, целиком лежащем внутри интервала сходимости . 2. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. Лемма 2. Ряд, составленный из производных членов степенного ряда имеет тот же радиус сходимости, что и ряд . Ряд Тейлора. Определение. Рядом Тейлора функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно разности , коэффициенты которого выражаются через и ее производные по формулам: ,

Эти коэффициенты называются коэффициентами Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора (теорема) Если в некоторой окрестности точки абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом, то функция разлагается в ряд Тейлора. Другими словами, ряд сходится и его сумма равна (без доказательства). Ряд Маклорена . Определение. Ряд Тейлора функции в окрестности точки называется рядом Маклорена: . Ряды Маклорена элементарных функций: 13.2.1. 1. . Все производные этой функции равны . Функция и ее производные ограничены в любом интервале значением , следовательно, функция разлагается в ряд Маклорена на всей числовой оси.

Пример. При получается ряд для числа : .

13.2.1. 2. Тригонометрические функции.

а) .

Функция и ее производные ограничены числом 1. Условия разложимости функции в ряд выполняются.

.

б) . Аналогично (самостоятельно) доказать, что функция разлагается в ряд Маклорена на всей числовой оси. Найти разложение функции и определить формулу общего члена и интервал сходимости.

(Указание.)

.

13.2.1. 3. Биномиальный ряд.

Функция разлагается в ряд Маклорена в области определения (без доказательства):

Найти разложение функции и получить формулу общего члена (самостоятельно).

Указание.

Интервал сходимости определяется по признаку Даламбера.

Определить самостоятельно без исследования на концах интервала.

Частные случаи

а) .

(геометрическая прогрессия)

б) , заменить на .

(геометрическая прогрессия)

в) , заменить на .

(геометрическая прогрессия)

г) , заменить на .

13.2.1. 4. Функция

Применим теорему об интегрировании рядов к ряду (13.2.1. 3. а):

13.2.1. 5.Функция (Доказать самостоятельно)

Применим теорему об интегрировании рядов к ряду 13.2.1. 3. в).

13.2.1. 6. Функция ( Доказать самостоятельно)

Применить теорему об интегрировании рядов к ряду 13.2.1. 3.г) и записать четыре члена ряда.

13.2.1. 7. Функции и (самостоятельно)

Указание. Возьмем ряд 13.2.1. 1. для и заменим на . Воспользуемся формулами и

13.2.1. 6. Функции; (Найти разложения функций и получить формулы общего члена (самостоятельно))

Тригонометрический ряд Фурье. Определение. Тригонометрическим рядом Фурье называется функциональный ряд

., членами которого являются синусы и косинусы от целых кратных значений аргумента .

Числа и называются коэффициентами ряда. Вывод коэффициентов тригонометрического ряда Фурье .

Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье (Признак Дирихле). Если функция имеет на интервале, конечное число разрывов первого рода (конечных разрывов) и конечное число экстремумов, то ее ряд Фурье сходится к функции во всех точках этого интервала, в которых она непрерывна. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Ряд косинусов:

Ряд синусов:

Разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом. , где

, Ряд Фурье в комплексной форме. . Интеграл Фурье. , где Интеграл Фурье для четной и нечетной функций. Интеграл Фурье для четной функции

Интеграл Фурье для нечетной функции