Теорема существования.

Если функция определена и непрерывна в замкнутой области (V), то существует тройной интеграл от этой функции по области (V).

Вычисление тройного интеграла.

z z = φ₂(x, y) Пусть область (V) такова, что любая прямая, параллельная оси z и проходящая через внутреннюю точку

области (V), пересекает границу

z = φ₁(x, y) области ровно в двух точках.

Y Тогда

P(x,y)

(D)

Если областью (D) является круг, то при вычислении внешнего двойного интеграла переходят к полярным координатам x = ρ∙ cosφ, y = ρ∙sinφ. Тогда

Вычисление объема с помощью тройного интеграла.

П р и м е р . Вычислить объем, ограниченный поверхностями z = x² + y²,

z = 2 – x² – y². z z = 2 – x² – y² x = ρcosφ, y = ρsinφ

ρ = 1

φ

z = x² + y² ρ

y

x (x, y)

Криволинейный интеграл по координатам.

Задача о работе переменной силы. Пусть в точках некоторой кривой (L) задана сила

y (L) F ={X(x, y); Y(x, y)}. Необходимо вычислить F_i работу этой силы при перемещении из точки А в

y_i+1 M_i+1 точку В. Разобьем дугу АВ на частичные дуги M_iM_i+1.

y_i M_i

x_i x_i+1 x

Будем считать, что сила на каждом участке М_iM_i+1 постоянна и равна силе в точке М_i.

F_i = {X(x_i, y_i); Y(x_i, y_i}.

Дугу M_iM_i+1 заменим вектором M_iM_i+1 {∆x_i, ∆y_i}. Тогда

∆A_i = (F_i A_iA_i+1) - частичная работа. Составим сумму

За истинное значение работы принимаем предел

Этот предел называется составным криволинейным интегралом по координатам x и у.

Очевидно, работа равна

.

Свойства криволинейного интеграла по координатам.

1. ●В

● С

●А

3. При изменении направления интегрирования знак криволинейного интеграла по координатам меняется на противоположный.

.

Замечание. Криволинейный интеграл можно вычислять и по замкнутому контуру.

При этом указывается направление интегрирования.

П р и м е р . где (L) – кривая y = x³ от точки М(1,1) до точки N(2, 8).

y = x³ , dy = 3x²dx

y

●N

●M

1 2 x

Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

●A Криволинейный интеграл зависит не только от начальной

L₁ и конечной точек интегрирования, но и от кривой, по L₂ которой совершается интегрирование.

A₀●

y

A

A₀ x

● N Пусть криволинейный интеграл не зависит от пути

интегрирования. Тогда

C

D

M●

Т.е. интеграл по любому замкнутому контуру оказывается равным нулю.

Обратно, если т.е. криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Рассмотрим (*)

Можно доказать следующую теорему.

Для того чтобы интеграл (*) не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x,y).

Следующая теорема указывает окончательный признак, по которому можно судить о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Теорема.

Для того чтобы выражение X(x,y)dx + Y(x,y)dy было полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x,y), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство