- •Определение производной
- •Производные тригонометрических функций.
- •Дифференциал функции.
- •Возрастание и убывание функции.
- •Геометрическая иллюстрация.
- •Экстремумы функции
- •Второе достаточное условие экстремума.
- •Выпуклость и вогнутость графика функции.
- •Достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой.
- •Геометрическая иллюстрация.
- •Правило Лопиталя (1661- 1704, Франция).
- •Сравнение быстроты роста функций.
- •Функции многих переменных.
- •Полное приращение и полный дифференциал функции.
- •Повторное дифференцирование.
Геометрическая иллюстрация.
tgα=f′(x) > 0, т.е. α – острый угол, ордината касательной с возрастанием х возрастает, и функцияf(x) является возрастающей.
Аналогично для f′(x) < 0.
Экстремумы функции
y Точка х = х0 называется точкой максимума, если
существует такая окрестность точки х = х0,что для всех
х из этой окрестности справедливо f(x0) > f(x).
f(x0) f(x)
Аналогично для минимума.
x0 x x
y
f(x0) < f(x). x = x0–точка минимума.
Максимум и минимум –экстремум.
f(x0) f(x)
x
x
Необходимое условие экстремума.
Если точка х = х0являетсяточкой экстремума функции f(x), то ее первая производная f′(x0) в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
f′(x0) = 0 либо f′(x0) = ∞.
Это условие является необходимым, но не является достаточным (например, у = х3)
Первое достаточное условие существования экстремума.
Если при переходе х через значение х = х0 в положительном направлении производная f′(x) меняет знак, то точка х= х0 является точкой экстремума функции f(x). Этот экстремум – максимум, если производная меняет знак с (+) на (-), и минимум, если с (-) на (+).
Пусть f′(x) > 0 приx<x0 , иf′(x)< 0 приx>x0. Тогда, если
x≤x0 , функция возрастает иf(x) <f(x0 ). Если жеx≥x0, то
функция убывает, и f(x0 )>f(x). Но это означает, чтоf(x0)
больше всех значений функции в соседних точках, т.е. х = х0
является точкой максимума. Аналогично для минимума.
Замечание. Максимум и минимум нельзя путать с наибольшим и наименьшим значением функции на замкнутом интервале.
y = f(x), x Є [a, b],
f(a) – наименьшее значение,
f(b)f(b) – наибольшее значение,
f(a) x = x1–точка максимума,
a x1 x2 b x x = x2 – точка минимума.
Второе достаточное условие экстремума.
Если в точке х = х0 f′(x0) = 0, а вторая производная f′′(x0 ) ≠ 0, то точка х = х0является точкой экстремума функции. х = х0 – точка максимума, если f′′(x0) < 0, и точка минимума, если f′′(x0) > 0.
Доказательство. Пусть f′(x0) = 0,f′′(x0) > 0. В силу непрерывностиf′′(x) будет больше нуля и в некоторой окрестности точки х = х0. Следовательно,f′′(x) возрастает в этой окрестности, а при х = х0f′(x0) = 0. Таким образом,f′(x) < 0 при х <x0иf′(x) > 0 при х >x0. Производная при переходе через х = х0меняет знак с (-) на (+), следовательно функция в этой точке имеет минимум.
Если в точке х0 f′(x0) иf′′(x0) равны нулю, то признак не эффективен. Экстремум в этой точке может быть, а может и не быть.
Выпуклость и вогнутость графика функции.
Выпуклая кривая, Вогнутая кривая, Кривая состоит из выпуклой
расположена под расположена над и вогнутой частей.
касательной. касательной.
Достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой.
Если f′′(x) < 0 для всех , то криваяy = f(x) – выпуклая на этом интервале.
Если f′′(x) > 0 для всех то криваяy = f(x) – вогнутая на этом интервале.
Доказательство.
Пусть f′′ (x) < 0, x Є (a, b). T
M0
f(x0) M1
x ξ1 x0 ξ 2 ξ1 x b
Рассмотрим кривую y = f(x). В точкеM0(x0, f(x) ) проведем касательную
Y – f(x0) = f ′(x0) (x – x0 ).
Возьмем произвольное значение xЄ (a, b) и рассмотрим разность ординат кривой и касательной при этом значенииx.
Разности x – x0иξ 1 – x0 имеют одинаковые знаки. Поэтому,
yкр–y кас < 0,yкр < yкас.
Кривая y = f(x) выпуклая. Аналогично, для вогнутости.