Дифференциал функции.

1. Дифференциалом аргумента называется его приращение dx = ∆x.

2. Дифференциалом функции называется произведение производной на приращение аргумента dy = f′(x)∙∆x или dy = f′(x)∙dx.

Замечание:

Сравнение дифференциала с приращением.

Пусть ∆y и ∆xодного порядка малости.

.dyи ∆xодного порядка малости, т. е.dyи ∆yодного порядка малости.

α∙∆x– бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x.

.Дифференциал есть главная часть приращения функции.

Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую

более высокого порядка, чем приращение аргумента.

Геометрический смысл дифференциала функции.

dy =f′(x)∙∆x=tgφ∙∆x=NT.

Дифференциал равен приращению ординаты касательной.

Свойства дифференциала.

1. Дифференциал суммы равен сумме дифференциалов.

d(u + v) = du + dv.

2. Дифференциал произведения d(u v) = du∙ v + u dv.

3. Дифференциал сложной функции.

y = f(u), u = φ(x), dy = y′_x dx =

dy = f ′(u) du – инвариантность формы дифференциала.

Дифференциалы высших порядков.

dy = f ′(x)∙dx, отсюда

Гиперболические функции.

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций.

Определения.

Из определений гиперболических функций следуют соотношения:

ch²x–sh²x= 1,sh2x= 2shx∙chx,ch2x=ch²x+sh²x,sh(α±β) =shαchβ±chαshβ.Производные от гиперболических функций.

Теорема Ролля.

Если функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], имеет производную во всех внутренних точках этого промежутка и принимает на концах промежутка равные значения, то внутри промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка x = ξ, что f ′(ξ) = 0.

Геометрический смысл.

y

f(a) = f(b), k_кас= 0.

A C B На гладкой дуге [a, b] найдется такая точка

f(a) f(b) С, в которой касательная параллельна хорде.

a ξ b x

Теорема Лагранжа (1736-1813, Франция).

Если функция определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a,b] и имеет производную во всех внутренних точках этого промежутка, то внутри этого промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка х = ξ, что f(b) – f(a) = f′(ξ)∙(b – a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Имеем гладкую дугу АВ.

На гладкой дуге АВ найдется такая точка С, в которой касательная параллельна хорде АВ.

Доказательство. Рассмотрим функциюF(x) = f(x) – λx. Подберем λ так, чтобы выполнялись условия теоремы Ролля.

1. F(x) – определена и непрерывна на [a, b], т.к. определена и непрерывна функцияf(x),.

2. F′(x)= f ′(x) – λ − существует,

3. Подберем λ так, чтобы выполнялись условия F(a) = F(b), т.е.f(a) – λa = f(b) – λb,

По теореме Ролля найдется такая точка x =ξЄ (a, b), чтоF′(ξ) = 0, т.е.

Возрастание и убывание функции.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

y y

f(x₁)

f(x₁) f(x₂) f(x₂)

x₁ x₂ x x₁ x₂ x

x₁ < x₂, f(x₁) < f(x₂) x₁ < x₂, f(x₁) > f(x₂)

возрастающая функция, убывающая функция.

Признаки возрастания и убывания.

Если f′(x) > 0 для всех x, принадлежащих интервалу (a, b), то f(x) возрастает на этом интервале.

Если f′(x) < 0 всех x, принадлежащих интервалу (a, b), то f(x) убывает на этом интервале.

Доказательство. .

Причем x₁<x₂. По теореме Лагранжа имеемf(x₂) –f(x₁) =f′(ξ)(x₂ – x₁) > 0. Отсюдаf(x₂₎ >f(x₁) – функция возрастает на (a, b)

Аналогично для убывающей функции.