Глава 3. Электродинамика.

1. Преобразование полей -------------------------------------------------------79

2. Электромагнитная индукция------------------------------------------------80

3. Взаимная индукция. Самоиндукция. Индуктивность.-----------------84

4. Уравнение Максвелла---------------------------------------------------------85

Часть 1. Механика.

Глава 1. Кинематика.

§ 1.1 Кинематика материальной точки.

Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с размерами, характеризующими его движение.

Для определения поведения материальной точки выбирают систему отсчета, в которую входят: тело отсчета (твердое тело, относительно которого рассматривается движение); система координат, жестко связанная с твердым телом; способ измерения времени (часы).

В качестве системы координат выберем прямоугольную декартовую систему координат.

Следует заметить, что выбор такой системы координат связан с определенным приближением. Мы считаем, что оси координат могут быть бесконечно длинными, а на самом деле размер вселенной – м и больших размеров не может быть (– первоначальное расстояние вселенной).

Применение евклидовой геометрии и прямоугольной декартовой системы координат является приближением. В классическом приближении мы будем пользоваться еще двумя приближениями:

1. Пространственный интервал (расстояние между двумя точками твердого тела не зависит от выбора системы отсчета).

2. Временной интервал (временной интервал между двумя событиями не зависит от выбора системы отсчета).

Положение точки в пространстве определяет радиус-вектор – R.

Зависимость отtназывается законом движения точки.

Линия, которая описывает движение – траектория.

- проекция векторана осьX.

- длина.

- орты (единичные векторы).

1. Скалярное произведение

2) Векторное произведение (вектор, направленный перпендикулярно к каждому из векторов)

Скоростью материальной точки называется , гдеd- , бесконечно малое изменение или дифференциал.

; ;

Зная закон движения , легко простым дифференцированием найти скорость и ускорение – это прямая задача кинематики.

Нахождение закона движения по известному ускорению, называется обратной задачей кинематики.

При интегрировании появляется произвольная постоянная величина, значит, для нахождения закона движения, необходимы еще уравнения. В качестве таких уравнений обычно используются начальные условия.

Начальная координата

Начальная скорость

Пример.

;

Так как , то

§ 1.2 Кинематика твердого тела.

Твердым телом называется тело, расстоянием, между любыми точками которого всегда постоянно.

Число независимых переменных, необходимое для определения положения тела, называется числом степеней свободы.

Для определения положения материальной точки надо задать три ее координаты (X,Y,Z), таким образом, у материальной точки – 3 степеней свободы.

Для того, чтобы полностью определить положение тела, необходимо определить положение трех точек, не лежащих на одной прямой.

2

1 3

Каждая точка обладает тремя степенями свободы, но при этом не все из них независимы, так как они должны удовлетворять трем условиям, из которых следует, что расстояние между точками одинаково. Таким образом, независимых переменных будет шесть(9-3) и для описания произвольного движения твердого тела надо знатьшестьпеременных, для которых необходимошестьуравнений.

Пусть (X,Y,Z) – неподвижная система отсчета, а (,,) – система отсчета, оси которой жестко связаны с твердым телом.

Тогда в точкеiв системеXYбудет, а в системе-.

=+, где- радиус-вектор начала системыв системеXY.

Рассмотрим случай, когда при движении твердого тела, оси системы все время остаются параллельными самим себе – такое движение называетсяпоступательным.

Для определения положения твердого тела в этом случае, достаточно задать трикоординаты начала системы, то есть при поступательном движении тело обладаеттремястепенями свободы.

при любом движении твердого тела постоянен по величине. При поступательном движении будет сохраняться и его направление.

Тогда скорость точки i() :

==+==- скорость начала системы.

Все точки твердого тела, при поступательном движении, движутся с одинаковыми скоростями.

===ускорение всех точек твердого тела при поступательном движении одинаково.

Рассмотрим движение твердого тела с одной неподвижной точкой, которую поместим в начало обеих систем отсчета. Такое движение называется изменением ориентации.

Для определения положения твердого тела в этом случае пользуются тремя углами Эйлера:(тетта),(пси),(фи).

линия узлов

В частном случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, эту ось совмещают с осями Zии=0, и положение твердого тела определяет- движение вращения.

Очевидно, что при изменении ориентации =, тогда==

постоянен по величине, но меняется по направлению.

В основе описания движения твердого тела лежит теорема Эйлера, из которой следует, что любое конечное положение твердого тела можно получить из начального положения одним поворотом вокруг неподвижной оси.

Теорема Эйлера справедлива для любых углов поворота, как конечных, так и бесконечно малых, однако конечные углы и бесконечно малые, отличаются по свойствам, как результат двух последовательных конечных поворотов, зависит от их порядка, а у бесконечно малых – нет.

Рассмотрим изменение ориентации твердого тела за бесконечно малый интервал времени . Положение твердого тела в этом случае изменилось незначительно и по теореме Эйлера его можно получить из первоначального положения одним бесконечно малым поворотом навокруг неподвижной оси. Такое изменение ориентации твердого тела, можно однозначно определить вектором бесконечно малого поворота, величина которого равна величине угла поворота, а направление совпадает с осью поворота по правилу правого винта.

При обозначении угла ,используется специально, чтобы подчеркнуть, что угол бесконечно малого поворота не является дифференциалом угла, так как конечный угол не может быть вектором, потому что сумма двух векторов не зависит от порядка сложения, а у конечных поворотов это не выполняется.

Угловой скоростью твердого тела называют отношение угла бесконечно малого поворота к интервалу времени, за которое поворот произошел.

=

Направление вектора совпадает свдоль оси.

В общем случае, проекция на осяхX,Y,Zможно выразить через углы Эйлера и их производные. В простейшем случае вращение твердого тела вокруг неподвижной осиZ:

=

Угловым ускорением твердого тела называется:

* * *

Рассмотрим производную от - постоянной длины. Пусть за, вектор изменится на величину, причем-const(это значит, что меняется только направление).

По теореме Эйлера, конечное положение из начального положения, можно получить одним поворотом на некоторый бесконечно малый уголвокруг своей оси.

Вид сверху:

При движении твердого тела с неподвижной точкой: =

===

==

Рассмотрим произвольное движение твердого тела:

О

Y

X

- скорость точки О в системеXY