Тема 2. Средние величины.

Цель занятия: Ознакомится с различными видами средних (степенными, структурными), их свойствами и способами расчёта.

2.1 Степенные средние

Степенные средние: простая , взвешенная ,

где х – варианта, т.е. варьирующая, изменяющаяся величина признака; n – число единиц или объем совокупности (число вариантов); f – частота признака (вес I-того варианта); z – показатель степени средней.

Таблица 2.1

Виды степенных средних и формулы их расчёта

Наименование средней	Условное обозначение	Значение степени	Формула средней
			простой	взвешенной
средняя гармоническая		–1
средняя геометрическая		0
средняя арифметическая		+1
средняя квадратическая		+2

«правило мажорантности средних»: <<<

Задача 2.1. На основании исходных данных рассчитать средние и показать «правило мажорантности средних».

54

62

68

74

80

86

Расчетная таблица средних Таблица 2.2

							∑
x	54	62	68	74	80	86	424
1/x	0,0185	0,0161	0,0147	0,0135	0,0125	0,0116	0,0870
х²	2916	3844	4624	5476	6400	7396	30656

средняя гармоническая: ;

средняя геометрическая: ;

средняя арифметическая: ;

средняя квадратическая: .

«правило мажорантности средних»:

< <<68,97 < 69,83 < 70,67 < 71,48

Вывод: Величина степенных средних зависит от их степени, наибольшее значение имеет

средняя квадратическая (значение степени равно +2).

Задача 2.2. По приведенным данным вычислить среднюю доходную таксу по письменной корреспонденции в целом по группе РУС за 1-е и 2-е полугодие, а также за год.

Исходные данные Таблица 2.3

РУС	1-е полугодие		2-е полугодие
	средняя доходная такса, руб.	количество писем, тыс.ед.	средняя доходная такса, руб.	Сумма доходов тыс. руб.
1	23,4	1250	28,6	31317,0
2	28,6	780	32,7	26977,5
3	21,9	950	25,2	28904,4
4	24,2	1170	29,3	27776,4

Решение

Расчетная таблица Таблица 2.4

РУС	1-е полугодие		2-е полугодие		Х1*f1	(М/Х2)
	средняя доходная. такса Х1	количество писем f1	средняя доходная. такса . Х2	сумма доходов тыс. руб. М
1	23,4	1250	28,6	31317,0	29250	1095
2	28,6	780	32,7	26977,5	22308	825
3	21,9	950	25,2	28904,4	20805	1147
4	24,2	1170	29,3	27776,4	28314	948
∑		4150		114975,3	100677	4015
1-е полугодие используется среднеарифметическая: руб. 2-е полугодие используется среднегармоническая: руб. За год: руб.

Задача 2.3. На основании исходных данных о заработной плате работников и их количестве рассчитать среднюю величину вариационного ряда с помощью способа "от условного нуля" и традиционным способом.

Таблица 2.5

Исходные данные

Группа по зарплате тыс. руб.	10,1 - 13	13,1 - 16	16,1 - 19	16,1 - 19	22,1 - 25	25,1 - 28	28,1 - 31	31,1 - 34
Количество работников, чел.	7	9	14	19	22	13	8	4

Таблица 2.6

Расчетная таблица средней

Группа по зарплате тыс. руб.	Количество работников, чел.	Средняя интервала	x∙f	(x-A) / i A=23,5
10,1 - 13	7	11,5	80,5	-4	-28
13,1 - 16	9	14,5	130,5	-3	-27
16,1 - 19	14	17,5	245	-2	-28
19,1 - 22	19	20,5	389,5	-1	-19
22,1 - 25	22	23,5	517	0	0
25,1 - 28	13	26,5	344,5	1	13
28,1 - 31	8	29,5	236	2	16
31,1 - 34	4	32,5	130	3	12
k = i = 3,0	96		2073		-61

Расчёт средней способом "от условного нуля":

Расчёт средней традиционным способом по формуле среднеарифметической взвешанной:

Задача 2.4 На основании исходных данных о количестве работников определить среднее ежегодное изменение работников в %.

Таблица 2.7

Исходные данные

Показатели	2005	2006	2007	2008	2009
Численность работников	2327	2506	1999	1929	1263

Таблица 2.8

Расчетная таблица

	2005	2006	2007	2008	2009
Численность работников	2327	2506	1999	1929	1263
Цепные индексы роста работников	1	1,077	0,798	0,965	0,655

Используется средняя геометрическая:

4 ____________________________

√1,077*0,798*0,965*0,655 = 0,8585 = 85,85%