Тема 7 Ряды динамики

Цель занятия: Ознакомится с различными видами рядов динамики.

Темпы роста: цепной , базисный ,

Приросты: цепные ,

базисные ,

Абсолютное значение одного процента прироста:

Среднегодовой темп роста: или ,

Задача 7.1 По данным о доходах за 2004-2009 годы рассчитать темпы роста, прироста базисные и цепные; абсолютный прирост 1 % прироста, среднегодовой рост и прирост доходов за расчётный период.

Исходные данные

Таблица 6.1

Период	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Доходы млн. руб.	154	190	185	195	210	215

Решение:

Расчетная таблица Таблица 7.2

Среднегодовой рост и прирост доходов за расчётный период определяем, используя формулу средней геометрической:

Среднегодовой рост доходов составляет: 106,9 %;

Среднегодовой прирост доходов составляет: 106,9 – 100 = 6,9 %.

Задача 7.2 По данным о ежегодных темпа прироста междугородных телефонных соединений за 2005-2009 вычислить среднегодовой темп роста и прироста за весь период.

Исходные данные Таблица 6.3

	2007	2008	2009	2010	2011
Темпы прироста междугородных телефонных соединений, %	5,4	6,10	5,90	6,70	7,20

Решение

Расчетная таблица Таблица 7.4

Среднегодовой темп роста: , прироста:

или 106,3%.

Среднегодовой темп прироста:

Задача 7.3 Провести смыкание рядов динамики по данным об объёме продукции за 2003 - 2009 годы по двум периодам: за 2003 - 2005 г.г. и 2005 - 2009 г.г. в относительном и абсолютном выражении.

Исходные данные Таблица 6.5

Период	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Объём продукции, млн. руб. в старых условиях	349	453	560
в новых условиях			648	685	735	795	846

Решение

Расчетная таблица Таблица 6.6

Период	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Объём продукции, млн. руб. в старых условиях	349	453	560
в новых условиях			648	685	735	795	846
млн. руб.	403,8	524,1	648	685	735	795	846
%	62,3	80,9	100	105,7	113,4	122,7	130,6

Год, в котором начинают действовать новые условия и имеются данные, как в старых, так и в новых условиях, называется годом смыкания. В данной задаче – это 2005 год.

Определяем коэффициент смыкания: Ксмык = 648/560 = 1,157

Для определения объёма продукции в новых условиях за 2003 и 2004 годы умножаем их значения в денежных единицах на коэффициент смыкания. Например, за 2003 год объём продукции в новых условиях равен 403,8 ( 349*1,157) млн. руб.

Для определения объёма продукции в новых условиях за весь период в процентах год смыкания принимаем за 100 %.

Объём продукции в новых условиях за 2003 г. будет равен 62,3 (349*100/560) % и т. д.

Объём продукции в новых условиях за 2006 г. будет равен 105,7 (685*100/648) % и т. д.

Задача 7.4 Провести выравнивание нагрузки с использованием 3-х и 5- ти месячных скользящих, рассчитать коэффициенты неравномерности нагрузки.

Исходные данные и расчет скользящих Таблица 6.7

Месяц	Нагрузка	скользящая 3-х мес		скользящая 5-ти мес		Кнеравн
	тыс. ед.	сумма	средняя	сумма	средняя	%
1	511					107,3
2	461	1461	487			96,8
3	489	1407	469	2368	474	102,7
4	457	1396	465	2318	464	95,9
5	450	1368	456	2316	463	94,5
6	461	1370	457	2267	453	96,8
7	459	1360	453	2266	453	96,4
8	440	1355	452	2288	458	92,4
9	456	1368	456	2366	473	95,7
10	472	1467	489	2427	485	99,1
11	539	1531	510			113,2
12	520					109,2
Всего	5715

Расчет скользящих проводится в следующей последовательности:

скользящая 3-х мес сумма 511+461+489 = 1461, средняя 1461/3 = 487

сумма 461+489 + 457 = 1407, средняя 1407/3 = 469 и т. д.

скользящая 5-ти мес сумма 511+461+489 + 457 + 450 = 2368, средняя 2368/5 = 474

сумма 461 + 489+457+450 + 461=2318, средняя 2318/5 = 464 и т. д.

среднемесячная нагрузка:5715/12 = 476,3.

Коэффициенты неравномерности

Рис. 6.1 Выравнивание нагрузки с использованием 3-х и 5- ти месячных скользящих.

Задача 7.5 По данным о доходах за 2005-2010 годы произвести выравнивание динамического ряда и спрогнозировать величину доходов на 2012 год.

Исходные данные Таблица 7.8

год	Доходы, млн. руб.
2005	549,3
2006	764,2
2007	1228,4
2008	2021,7
2009	2975,3
2010	3839,8
2011	4753,1

Решение

Произведем выравнивание динамического ряда по уравнению прямой: y = a₀ + a₁*t .

Расчетная таблица Таблица 7.9

год	y	t	t²	Y*t	ỹt	(У-ỹt)2
2005	549,3	-3	9	-1647,9	107,10	195540,8
2006	764,2	-2	4	-1528,4	839,58	5682,14
2007	1228,4	-1	1	-1228,4	1572,06	118102,2
2008	2021,7	0	0	0	2304,54	79998,47
2009	2975,3	1	1	2975,3	3037,02	3809,36
2010	3839,8	2	4	7679,6	3769,50	4942,09
2011	4753,1	3	9	14259,3	4501,98	63061,25
∑	16131,8	0	28	20509,5	16131,78	471136,3

Уравнение прямой: y = a₀ + a1*t. a₀ = ∑y/n = 16131,8/7 = 2304,54;

a₁ = ∑yt/∑t² = 20509,5/28 = 732,48. ỹ_t = 2304,54 + 732,48*t

= 259,43; =259,43*100/2304,54 = 11,26 %.

Уравнение регрессии можно использовать в целях прогнозирования, т.к. v ‹ 33%

ỹ₍₂₀₁₂₎ = 2304,54+732,48*4 = 5234,46 млн. руб.

Величина доверительного интервала.

где: α – коэффициент доверия (обычно выбирается 0,05);

t_α – находится по таблице «t- критерия Стьюдента» (зависит от α и числа степеней свободы v = n – m =7-2=5). t_α = 2,5706

n - число уровней ряда (в примере n =7);

m - число параметров уравнения (для уравнения прямой m=2).

S_Yt - среднее квадратическое отклонение от тренда.

ỹ₍₂₀₁₂₎ = 5234,46 ± 298,24 Доверительный интервал: min 4936,21 max 5532,69 млн. руб.

Величина относительной ошибки: S*100/ŷ_t %. 306,96*100/2304,54 = 13,32%.

Задача 7.6. Провести выравнивание нагрузки предприятия связи по прямой и по ряду Фурье. Определить функцию, наиболее адекватно отражающую колеблемость уровней изучаемого ряда.

Выравнивание по прямой

Уравнение прямой: , где

5715/12 = 476,25; 645/572 = 1,1276

Показатель вариации: 28,95*100/476,25 = 6,08 %

Расчетная таблица Таблица 7.10

месяц	Письменная корреспонд. тыс. ед. У	tпр	t²	yt
1	511	-11	121	-5621	463,85	2223,46
2	461	-9	81	-4149	466,10	26,03
3	489	-7	49	-3423	468,36	426,14
4	457	-5	25	-2285	470,61	185,29
5	450	-3	9	-1350	472,87	522,91
6	461	-1	1	-461	475,12	199,44
7	459	1	1	459	477,38	337,74
8	440	3	9	1320	479,63	1570,76
9	456	5	25	2280	481,89	670,19
10	472	7	49	3304	484,14	147,46
11	539	9	81	4851	486,40	2766,93
12	520	11	121	5720	488,65	982,60
Σ	5715	0	572	645	5715,00	10058,93

Выравнивание по ряду Фурье

Уравнение: ( по одной синусоиде), где

5715/12 = 476,25;

2/12 * 182,28 = 30,380; 2/12 * (-82,5) = -13,750

Показатель вариации: 18,52*100/476,25 = 3,89 %

Расчетная таблица Таблица 7.11

месяц	Письменная корреспонд. тыс. ед. У	tф	сos t	sin t	y*сos t	y*sin t
1	511	0	1	0	511	0,00	506,63	19,10
2	461		0,866	0,5	399,23	230,50	495,68	1202,99
3	489		0,5	0,866	244,50	423,47	479,53	89,63
4	457		0	1	0	457,00	462,50	30,25
5	450		-0,5	0,866	-225	389,70	449,15	0,72
6	461		-0,866	0,5	-399,23	230,50	443,07	321,63
7	459		-1	0	-459	0,00	445,87	172,40
8	440		-0,866	-0,5	-381,04	-220,00	456,82	282,78
9	456		-0,5	-0,866	-228	-394,90	472,97	287,90
10	472		0	-1	0	-472,00	490,0	324,00
11	539		0,5	-0,866	269,50	-466,77	503,35	1271,10
12	520		0,866	-0,5	450,32	-260,00	509,43	111,64
Σ	5715				182,28	-82,50	5715,00	4114,12

Расчет индексов сезонности по фактическим данным, по прямой и по ряду Фурье

Индексы сезонности, % по факту: Индексы сезонности, % по прямой:

Индексы сезонности, % по Фурье:

Средний индекс сезонности показывают по фактическим данным колеблемость исследуемого показателя, обусловленную сезонным спросом; по выравненным данным отражает также сезонные колебания.

Наилучшее с точки зрения отражения сезонных колебаний нагрузки уравнение выбирают по минимуму среднего квадратического отклонения индексов сезонности от 100 %:

по факту: по прямой:

по Фурье:

Месяцы	У факт	Индексы сезонности, %			Отклонение от 100 %
		по факту	по прямой	по Фурье	по факту	по прямой	по Фурье
1	511	107,30	110,17	100,86	53,24	103,34	0,74
2	461	96,80	98,91	93,00	10,25	1,20	48,96
3	489	102,68	104,41	101,97	7,17	19,43	3,90
4	457	95,96	97,11	98,81	16,34	8,37	1,41
5	450	94,49	95,16	100,19	30,38	23,39	0,04
6	461	96,80	97,03	104,05	10,25	8,83	16,38
7	459	96,38	96,15	102,94	13,12	14,82	8,67
8	440	92,39	91,74	96,32	57,94	68,28	13,55
9	456	95,75	94,63	96,41	18,08	28,86	12,87
10	472	99,11	97,49	96,33	0,80	6,29	13,49
11	539	113,18	110,81	107,08	173,60	116,95	50,17
12	520	109,19	106,41	102,07	84,39	41,15	4,30
Σ	5715	1200,00	1200,01	1200,05	475,55	440,91	174,50

Расчетная таблица Таблица 7.12

Вывод:Расчеты показывают, что ряд Фурье наиболее адекватно отражают колеблемость уровней изучаемого ряда, так как показатели вариации и среднего квадратического отклонения индексов сезонности от 100 % имеют меньшее значение.

Прогнозирование объема письменной корреспонденции

Величина доверительного интервала определяется по формулам:

Используем для примера уравнение прямой:

α – коэффициент доверия (обычно выбирается 0,05); n - число уровней ряда;

m - число параметров уравнения (для уравнения прямой m=2)

t_α – находится по таблице t критерия Стьюдента (зависит от α и числа степеней свободы

v = n – m). v = n-m = 12-2 = 10, ta = 2,2281.

Прогноз нагрузки на 1-й месяц следующего года с учетом сезонных колебаний и доверительного интервала:

(476,25 + 1,1276 * 13)*1,073 ± 20,40 = 526,745 ± 20,40, т. е.

С вероятностью ± 95 % можно утверждать, что величина прогнозируемого показателя на 1-й месяц следующего года будет находиться в пределах 506,345 - 547,145 тыс. ед.

Автокорреляция в рядах динамики

Задача 7.7. Имеются данные о количестве абонентов ГТС за 7 лет. Найти уравнение тренда, определить количество абонентов на 2010 год. Проверить полученное уравнение на наличие автокорреляции.

Таблица 7.13

Период	Количестве абонентов ГТС
2003	549,3
2004	764,2
2005	1228,4
2006	2021,7
2007	2975,3
2008	3839,8
2009	4753,1

Решение :

1. Определяем уравнение тренда по диаграмме, построенной в электронной таблице.

2. Рассчитываем ряд выравненных по уравнению показателей ỹt.

Расчетная таблица Таблица 7.14

год	t	y	ỹt	У-ỹt = ε t	ε t-1	ε t*ε t-1	εt2	ε t-ε t-1	(ε t-ε t-1)2
2003	1	549,3	453,17	96,13			9240,016
2004	2	764,2	839,58	-75,38	96,13	-7245,90	5682,144	-171,51	29413,97
2005	3	1228,4	1364,42	-136,02	-75,38	10252,81	18500,08	-60,64	3676,60
2006	4	2021,7	2027,68	-5,98	-136,02	813,37	35,7604	130,04	16909,1
2007	5	2975,3	2829,37	145,93	-5,98	-872,63	21294,11	151,91	23075,13
2008	6	3839,8	3769,5	70,30	145,93	10258,53	4942,09	-75,63	5719,14
2009	7	4753,1	4848,06	-94,95	70,30	-6675,33	9016,452	-165,25	27309,22
∑		16131,8	16131,78	0,02		6530,84	68710,65		106103,2

3. Определяем остаточные величины У-ỹt = ε t и проверяем их на наличие

автокорреляции по коэффициенту автокорреляции (ra):

ra = ∑ ε t*ε t-1 / ∑ εt² = 6530,84/68710,65 = 0,095.

Если ra = 0, то автокорреляция отсутствует. Если ra не равна 0, то автокорреляцию проверяют по критерию Дурбина - Ватсона (d ).

4. Проверяем остаточные величины У-ỹt = ε t на наличие автокорреляции по критерию

Дурбина - Ватсона (d ).

Рассчитывается величина ( d ) и сравнивается по таблице со значениями d₁ и d₂.

d = (ε t-ε t-1)² / ∑ εt² = 106103,15/68710,65 = 1,544

По таблице значений критерия Дурбина – Ватсона при 5% - ном уровне существенности определяем d₁ и d₂. При ν =1 ( число переменных) и n (число наблюдений) =7 <15

d₁ = 1,08 d₂ = 1,36 d > d₂ 1,544 > 1,36

Следовательно, автокорреляция отсутствует. Уравнение можно использовать для прогнозирования количества абонентов на 2010 год.

ỹt= 69,215*8²+178,76*8+205

Статистический анализ структуры. Показатели структуры и структурных сдвигов.

Для статистической оценки структурных сдвигов рассчитываются две группы показателей:

• показатели, основывающиеся на абсолютной разности между удельными весами одноименных частей совокупности: ;

• показатели, базирующиеся на отношениях удельных весов одноименных частей совокупности: .

Задача 7.8 Провести анализ структуры и структурных сдвигов доходов операторов связи за 2007 – 2009 годы и сделать выводы.

Доходы операторов Таблица 7.14

Операторы	Доходы, млн. долл. Д
	2007	2008	2009
Оператор 1	404	593	678
Оператор 2	651	612	630
Оператор 3	41	59	60
Оператор 4	104	86	132
Итого	1200	1350	1500

Расчетные таблицы

Таблица 7.15

Операторы	1. Удельный вес,% dij = Дij / ΣДij			2. Прирост удельного веса  ∆d=dij - dij-1
	2007	2008	2009	2008-2007	2009-2008	2009-2007
	di1	di2	di3	∆d=di2-di1	∆d=di3-di2	∆d=Idi3-di1I
Оператор 1	33,66	43,93	45,20	10,27	1,27	11,54
Оператор 2	54,25	45,33	42,00	- 8,92	- 3,33	- 12,25
Оператор 3	3,42	4,37	4,00	0,95	- 0,37	0,58
Оператор 4	8,67	6,37	8,80	- 2,30	2,43	0,13
Итого	100	100	100	0	0	0

Таблица 7.16

Операторы	3. Темпы роста		Средне- годовой темп роста
	Id = di2/di1	Id = di3/di2	di1:di3
Оператор 1	1,3047	1,0290	1,1587
Оператор 2	0,8356	0,9265	0,8800
Оператор 3	1,2791	0,9153	1,0820
Оператор 4	0,7350	1,3814	1,0076

√	1,3047*1,0290		1,158679
√	0,8356*0,9265		0,879877
√	1,2791*0,9153		1,082017
√	0,7350*1,3814		1,007635

	по модулю Idi2-di1I	(di2-di1)2	(di2-i1)2 di1	по модулю Idi3-di2I	(di3-di2)2	(di3-di2)2 di2	по модулю Idi3-di1I
Опер 1	10,27	105,25	3,13	1,27	1,62	0,04	11,54
Опер 2	8,92	79,51	1,46	3,33	11,11	0,25	12,25
Опер 3	0,95	0,91	0,27	0,37	0,14	0,03	0,58
Опер 4	2,30	5,27	0,61	2,43	5,90	0,93	0,13
	22,44	190,94	5,47	7,40	18,77	1,24	24,50

Таблица 7.17

Расчет показателей Таблица 7.18

1. Удельные веса, %	dij = Пij *100/ Пij   i – часть совокупности; j – период времени; k – количество показателей.
2. Прирост удельного веса (доли)	∆di = d ij – d ij-1;   ∆di = 0
3.Средний «абсолютный» прирост удельного веса	= (din- di1) / (n-1) = 0
4.Темп роста удельного роста    Средний темп роста удельного роста	= dij=dij / dij-1  n - количество лет
5. Линейный коэффициент "абсолютных" структурных сдвигов	dj-dj-1 = (Σ |I dij-dij-1|)/ k 22,44/4 = 5,61 проц. пункт 7,40/4 = 1,85 проц. пункт djn-dij-1 = (Σ | din-di1|)/ k(n-1) 24,50/4/(3-1) 3,06 проц. пункт
6. Квадратический коэффициент «абсолютных» структурных сдвигов	σdij-dij-1 =√(Σdij-dij-1)2/k σd2-d1 = = 6,91 проц. пункт σd3-d2 = = 2,17 проц. пункт
7. Квадратический коэффициент 'относительных" структурных сдвигов	σdij/dij-1 = √ (Σdij-dij-1)2*100/dij-1 σd2/1 = σd3/2 =

По каждому структурному показателю структурный «абсолютный» сдвиг определяется за весь период как: (d_in – d_i1) / (n-1), а (d_in – d_i1) / (n-1) = 0.

Для оператора 1: (45,20 - 33,66) / (3 - 1) = 5,770 процентных пункта;

для оператора 2: (42,00 - 54,25) / (3 - 1) = - 6,125 процентных пункта;

для оператора 3: (4,00 - 3,42) / (3 - 1) = 0,290 процентных пункта;

для оператора 4: (8,80 - 8,67) / (3 - 1) = 0,065 процентных пункта.

(d_in – d_i1) / (n-1) = 5,770 – 6,125 + 0,290 + 0,065 = 0.

Выводы:

1. Удельный вес доходов оператора 1 ежегодно растет, а оператора 2 – падает, у операторов 3 и 4 наблюдается сначала падение, затем рост. Темпы роста подтверждают вышеприведенные выводы.

2. Линейный коэффициент "абсолютных" структурных сдвигов показывает, что удельный вес доходов в среднем за 2008 год изменился на 5,61, за 2009 год – на 1,85 и за 2009 год по сравнению с 2007 годом – на 3,06 процентных пункта. Снижение средней величины удельного веса доходов с 5,61 до 1,85 свидетельствует о начале стабилизации на анализируемых объектах и оценивается положительно.

3. Квадратический коэффициент «абсолютных» структурных сдвигов подтверждает ранее сделанный вывод: удельный вес отдельных частей совокупности (доходов операторов) изменился за 2008 год на 6,91, за 2009 год – на 2,17 процентных пункта.

  4. Квадратический коэффициент 'относительных" структурных сдвигов показывает, что если за 2008 год вес доходов каждого оператора в среднем изменился на 23,38% своей величины, то за 2009 год – на 11,14%.

5. Сводную оценку изменения за 2007-2009 годы дает средний линейный коэффициент "абсолютных" структурных сдвигов 3,06 проц. пункта, что свидетельствует о достаточно равномерном влиянии факторов на доходы операторов.

6. По отдельной части совокупности (доходы операторов) структурный абсолютный сдвиг за весь период изменялся ежегодно на процентных пункта:

оператора 1: 5,770 (увеличение); оператора 2: - 6,125 (уменьшение);

оператора 3: 0,290 (увеличение): оператора 4: 0,065 (увеличение).

Общая сумма средних ежегодных изменений равна 0.

5,770 - 6,125 + 0,290 + 0,065 = 0