Информатика

41

Код в Mcd несущественно отличается от приведенного выше:

f(x) : = ε ← 0.000001

n ← 0 m ← 3 p ← x

sum ← p 3

r ← 0 q ← 1

while |q| > ε n ← n + 1

d ← n

k ← if(mod(trunc(d),2) > 0, -1, 1) p ← p∙d∙x2

m

r ← 3 + r

q ← k∙p

3 - r m ← 9∙m

sum ← sum + q sum

(здесь из-за невозможности использовать цикл с постусловием пришлось ввести фиктивное значение первого слагаемого q = 1 для запуска цикла). Заметим, что запись кода сильно растянута.

Циклы с условием успешно используются для организации ите-

рационных вычислительных процессов.

Пример 14. Пусть требуется найти с заданной точностью все корни кубического многочлена p(x) = a0x3 + a1x2 + a2x + a3 (a0 ≠ 0). Один действительный корень, во всяком случае, всегда существует. Поделим сначала все коэффициенты на а0, приведя многочлен к виду p(x) = x3 + a1x2 + a2x + a3. Тогда, если а3 > 0, то существует отрицательный корень, в противном случае корень больше или равен нулю. Так что можно с возрастающим шагом двигаться вдоль числовой оси в нужном направлении, пока многочлен не сменит знак, после чего шаг поиска уменьшить и сменить направление движения. Процесс продолжается до тех пор, пока шаг перемещения не будет достаточно мал. Найдя приближенное значение корня x = xˆ , можно поделить p(x) на x - x,ˆ получив в результате квадратный трехчлен, корни которого мы уже находить умеем (см. п. 1.5.2). Построим программу отыскания одного действительного корня кубического многочлена, заданного своими коэффициентами, результатом которой будет приближенное значение корня и коэффициенты "оставшегося" квадратного трехчлена.

В VBA это будет не функция, а программа (поскольку возвращается не одно значение, а четыре), в Mcd – это функция. VBA – код:

42

Sub Poly3( ByRef a0 As Single, ByRef a1 As Single, _ ByRef a2 As Single, ByRef a3 As Single)

Dim x As Double, h As Double, s As Double, r As Double Const eps As Double = 1E-10

a3 = a3 / a0: a2 = a2 / a0: a1 = a1 / a0: a0 = 1 x = 0: s = a3

If Abs(s) < eps Then Exit Sub h = Sgn(-s)

While Abs(h) > eps

x = x + h: r = ((x + a1)*x + a2)*x + a3 If r*s ≥ 0 Then

'***пересчитываем коэффициенты: a1 = a1 + x: a2 = a1*x + a2: a3 = x

End Sub .

Приведем Mcd-вариант программы (здесь для компактности в одной строке записано несколько операторов присваивания, для исполнения программу следует переписать по правилам, например, строка опера-

44

Пределы в бесконечности, в принципе, считаются аналогично с той лишь разницей, что выбранный шаг нужно не дробить (деля на два, например), а увеличивать, умножая на какое-то число, например, на два или больше.

Do: z = y: h = 2*h: y = f(h)

Loop Until Abs(y - z) < eps.

В результате получим единицу, как и следовало ожидать. Упражнение 3. Вычислите все "замечательные" пределы. Пример 18. Реализация этого примера существенно различается в

VBA и Mcd. Требуется найти наименьшее четырехзначное число n, для которого n = m5, где m – количество единиц в двоичном представлении числа n. Здесь достаточно было бы для каждого n выяснять, есть ли единица в соответствующем разряде, сравнивая его с соответствующей степенью двойки (с помощью связки And). Код решения задачи в VBA выглядит достаточно прозрачно:

Dim n As Integer, m As Integer, k As Integer, i As Integer

For n = 1000 To 9999

MsgBox "n = " & Format(n) & ", m = " & Format(m)

Exit For

End If

Next .

В результате работы программы получено число 7776 с шестью единицами в двоичном представлении. Заметим, что в подсчете двоичных единиц условие записано упрощенно: If n And k Then m = m + 1. Как уже отмечено выше, логическое значение ячейки есть False, если она пуста, в противном случае ее логическое значение есть True. Логические связки Or, And, Xor и отрицание Not действуют поразрядно, поэтому выражение n And k истинно (= True), если хоть в одном разряде у n и k одновременно стоят единицы, в противном случае значение ложно.

45

Mcd, в общем, не приспособлен для простого анализа разрядов чисел (в нем логические условия обрабатываются иначе). Здесь потребуется некоторая изворотливость с использованием операций над текстом. Во-первых, полезно будет создать функцию, возвращающую двоичное представление десятичного целого числа (в виде текстового выражения):

B(n) : = s ← ""

while n > 0

d ← mod(n,2), n ← trunc(0.5∙n) s ← concat(if(d = 0,"0","1"), s)

s

Во-вторых, полезно создать функцию, возвращающую число единиц в строке двоичного представления числа:

Num(n) : = s ← B(n), m ← 0

for i 0 .. strlen(s) – 1

m ← m + 1 if substr(s, i, 1) = "1"

m

Ну, а теперь сама программа будет выглядеть уже просто:

Напомним еще раз, что в Mcd-блоках несколько операторов, разделенных запятыми, в одной строке записаны лишь для компактно-

сти, в тексте рабочего листа каждый оператор должен записывать-

ся в отдельной строке.

1.7. МАССИВЫ

Массивы - группы однотипных данных с произвольным доступом в оперативной памяти (во внешней памяти соответствующие группы данных называются файлами). По сути это таблицы с одним или несколькими входами (одно или многомерные массивы) в соответствии с указанными индексами (т.е. с заданной нумерацией). В VBA массивы определяются оператором Dim с указанием количества и диапазона изменения индексов (индексация по умолчанию начинается с нуля). При этом используются инструкции:

Dim ‹имя массива1›(n1) As ‹тип›, ‹имя массива2›(m2, n2) As ‹тип›

46

для одномерного и двумерного массивов: в первом массиве индексы (т.е. номера элементов) изменяются от 0 до n1, второй массив двухмерный, первый индекс меняется в пределах 0 - m2, второй 0 – n2. Одномерный массив – это последовательность однотипных данных. Двухмерный массив – плоская таблица, первый индекс – номер строки, второй – номер столбца элемента в таблице. Индексы указываются в круглых скобках. По желанию индексацию можно начинать с произвольного натурального числа, тогда инструкция определения массива выглядит иначе:

Dim ‹имя массива›(m To n) As ‹тип›, ...

Здесь индекс может меняться в пределах от m до n.

Если размер массива заранее не известен и будет определен в программе в дальнейшем, то массив определяется вначале формально, без указания размеров:

Dim ‹имя массива›() As ‹тип›,

затем перед его фактическим использованием можно указать его реальный размер инструкцией Redim ‹имя массива›(размер) (этот оператор позволяет в процессе вычислений обнулять существующий массив). В программе определение массива всегда должно располагаться до его фактического использования. Выборка элемента массива осуществляется указанием его имени и индексов (в круглых скобках): первый индекс – номер строки, второй – номер столбца, третий (если есть) – номер "слоя", и т.д.. VBA позволяет использовать размерность массивов до шестнадцати, хотя трудно представить себе реальную размерность больше трех.

В Excel рабочий лист представляет собой плоскую таблицу с более чем 2500000 ячеек с индексацией, по умолчанию начинающейся с единицы. Эта стандартная таблица-массив имеет стандартное же имя Cells(), ячейка в левом верхнем углу – Cells(1, 1), соседняя справа – Cells(1, 2), и т.д. Второй ряд начинается с ячейки Cells(2, 1), далее вправо Cells(2, 2), затем Cells(2, 3), ... . По умолчанию ячейки рабочего листа имеют тип Variant, т.е. они могут содержать как числовую, так и текстовую информацию. Поскольку ячейки – видимая часть рабочего листа, в них можно вводить информацию непосредственно с клавиатуры, а также выводить в них информацию в процессе работы программы просто с помощью оператора присваивания. Например, работая с конкретным рабочим листом (активный лист) оператор присваивания Cells(1, 3) = "Вывод результата:" поместит в указанную ячейку приведенную фразу. А поскольку ячейки листа имеют много полезных свойств, таких, например, как тип шрифта, размер символов, цвет, и т.д., то такая таблица является удобным

49

Sub MProd(A() As Single, m As Integer, k As Integer, B() As Single, _ n As Integer, C() As Single)

Dim i As Integer, j As Integer, t As Integer, p As Single For i = 1 To m

For j = 1 To n : p = 0

For t = 1 To k

p = p + A(i, t) * B(t, j) '***вычисление суммы сомножителей

Next: C(i, j) = p Next

Next End Sub .

В Mcd это просто C : = A∙B.

Заметим, что в Excel в меню f(x) "вставка функций" имеются

функции МОПРЕД и МУМНОЖ, вычисляющие определитель матрицы, записанной в ячейках рабочего листа, и произведение матриц.

Пример 3. Иногда бывает необходима специальная нумерация элементов массива. Пусть, например, требуется перенумеровать элементы квадратного массива A(1 To n, 1 To n) параллельно побочной диагонали, т. е. заполнить массив последовательно натуральными чис-

лами в порядке: A(1, 1) = 1, A(2, 1) = 2, A(1, 2) = 3, A(3, 1) = 4, A(2, 2) = 5 и т. д. Заметим, что сумма индексов параллельно побочной диагонали остается постоянной. Этим и воспользуемся в приведенном ниже VBA-коде:

Sub SpecNum(A() As Integer, n As Integer)

Dim k As Integer, u As Integer, v As Integer, i As Integer, j As Integer, t As Integer

Для n = 5 массив будет заполнен следующим образом:

Соответствующий код в Mcd имеет вид (напомним: индексация начинается с нуля, если не используется встроенная перемнная

ORIGIN):