Информатика

31

В Mcd этот пример целесообразно решить в виде кода:

n ← n + 1

n

Здесь нет необходимости создавать функцию (для одноразового вычисления). Приведенный блок содержит в конце одну переменную, n, значение которой необходимо сообщить в результате вычисления (знак равенства после блока "высвечивает" значение n = 355), можно было бы использовать также оператор return n.

Пример 2. Пусть требуется вычислить значение непрерывной

чисел: {2, 3, 4, ..., 11} и {1, 2, 3, ..., 9}. Вычисление следует проводить "с хвоста": взять число 11, затем 9 поделить на 11 и прибавить 10, затем 8 поделить на результат и прибавить 9, и т.д. Таким образом, алгоритм вычисления выстраивается в следующий цикл пересчета в обратном порядке (т.е. с шагом -1):

Dim n As Integer, d As Single

d = 11

For n = 10 To 2 Step -1

d = n + (n - 1) / d

Next

В Mcd цикл пересчета вводится из меню (см. рис. 5) в виде

for ▪ ▪ , где в первой строке указаны места для счетчика и диапа-

▪

зона его изменения, нижний квадратик – для тела цикла (в это место можно вставить вертикальную черту –"Add Line"). Диапазон изменения счетчика можно указать явным перечислением его значений или с помощью операции "ранжирования", используя оператор ".." (клавиша ";" на латинской клавиатуре или меню матричных операций, см. рис 6 слева)

d ← 11 = 2.291

for n 10..2

d ← n + n - 1 d

d

33

"вырождением"), то tg(x) может принимать значения 0, ±1 или ∞, в противном случае можно воспользоваться приведенными формулами

столько раз, сколько раз 4π содержится в аргументе х. Алгоритм можно оформить в виде функции Tg(x). Окончательно имеем:

Sub Tg(x As Single) As Single

Dim p4 As Single, y As Single, z As Single, t As Single, k As Integer, n As Byte

В Mcd имеется встроенная константа π, есть также символ "∞", который обозначает наибольшее действительное число, используемое в вычислениях. Кроме того, конструкцию "Select Case ... End Select" можно реализовать многократным вложением функции if. Наконец, поскольку вырожденный и регулярный случай различаются по-сущес- тву, можно в первом случае просто прервать дальнейшие вычисления.

Tg(x) : = ε ← 10-10

p4 ← π4 y ← |x|

k ← trunc y

p4 t ← y – k∙p4

if |t| < ε

n ← mod(k, 4)

return if [n = 2, ∞, if [n = 0, 0, (-1)n∙sign(x)]]

break z ← t2

(z - 105)∙z + 945 t ← t (15∙z - 420)∙z + 945

for n 1 .. k

t ← 1 + t 1 - t

t∙sign(x)

34

(функция sign(∙) возвращает знак аргумента).

Пример 5. Рассмотрим алгоритм перевода десятичного числа в число системы счисления с основанием q. Если q > 10, то недостающие цифры заменяются буквами латинского алфавита (в 16-чной системе счисления цифры суть 0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F). Так как латинский алфавит содержит 26 букв, то в нашем примере q ≤ 36. Если десятичное число N натуральное, то соответствующее его q-представле- ние получается из цепочки равенств

N= N1q + R1 (N1 – частное от деления N на q, R1 – остаток)

= (N2q + R2)q + R1 = ... + R3q2 + R2q + R1,

поэтому достаточно делить последовательно число N на q до нуля и выписывать все остатки. Если положительное число N < 1, то цифры Rk нового представления получаются как Rk = [Nk-1q], Nk = {Nk-1q} – целая и дробная часть произведения Nk-1q, N0 = N. Знак числа можно учесть при выводе результата. Построим функцию, возвращающую представление десятичного числа а в системе счисления с основанием q с числом знаков дробной части не более десяти. Полезно в функциях предусмотреть "нештатную" ситуацию. Будем считать выбор основания q "незаконным", если q < 2 или q > 36. В Mcd при отсутствии определения типов следует еще позаботиться о целочисленном q. В VBA такая необходимость отсутствует. Результат должен быть текстовым выражением.

Function Transform(ByVal a As Double, q As Byte) As String Dim u As Long, v As Double, z As integer, r A Byte, s As String

Const B As String = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ" If q < 2 Or q > 36 Then

MsgBox "Illegal Basis", vbExclamation, "ERROR": Exit Function

s = s & "." For u = 1 to 10

v = v*q: r = Int(v): v = v - r: s = s & Mid(B, r+1, 1) Next

End If

If z < 0 Then s = "-" & s Transform = s

End Function .

35

Соответствующий Mcd-вариант функции имеет вид:

Transform(a, q) : = B ←"0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"

if q < 2 q > 36 q ≠ trunc(q) return "Illegal arguments" break

return "0" if a = 0 otherwise

z ← sign(a) a ← |a|

u ← trunc(a) v ← a – u

s ← "" while u > 0

r ← mod(u, q)

u ← trunc u

q

s ← concat(substr(B, r, 1), s) if v > 0

s ← concat(s, ".")

for u 0 .. 9 v ← v∙q

r ← trunc(v) v ← v – r

s ← concat(s, substr(B, r, 1)) s ← concat("-", s) if z < 0

s

Циклы, как и условные операторы, легко вкладываются друг в друга, причем вложенные циклы должны различаться параметрами и во внутреннем цикле (равно и в теле цикла) не следует менять параметры (внешнего) цикла.

Пример 6. Есть следующе "простое" правило сокращения простых дробей – зачеркивание одинаковых цифр числителя и знамена-

двузначными числителями и знаменателями, для которых это правило применимо (исключая равные числители и знаменатели, а также сокращение на ноль). Задачу легко решить с помощью VBA-кода:

Dim m As Byte, n As Byte, a As Byte, b As Byte, c As Byte, d As Byte, q As Single For m = 10 To 99

For n = m + 1 To 99

a = m \ 10: b = m Mod 10

c = n \ 10: d = n Mod 10 If b <> 0 Then

If a = c Then q = d / b

ElseIf a = d Then q = c / b

36

ElseIf b = c Then

q = d / a

ElseIf b = d Then

q = c / a

Else

q = 0

End If

End If

If q = n / m Then MsgBox Format(n) & "/" & Format(m)

Next

Next .

программы в Mcd отложим до будущего.

Упражнение 1. Какими цифрами следует заменить буквы в идеограмме СУК × СУК = БАРСУК, чтобы результат был верен?

Пример 7. Найти все трехзначные числа (числа Армстронга), которые равны сумме кубов своих цифр. Здесь придется вложить друг в друга три цикла:

Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer

For i = 1 To 9

For j = 1 To 9

For k = 1 To 9

If i^3 + j^3 + k^3 = (10 * i + j) * 10 + k Then _

MsgBox Format((10 * i + j) * 10 + k)

Next k

Next j

Next i

(бывает полезно для контроля после "Next" через пробел указывать имя счетчика цикла, как выше; необходимости, однако, в этом нет).

В вычислительной практике циклы весьма успешно применяются при анализе текстов, при нахождении значений бесконечных сумм, произведений, предельных результатов итерационных и рекурсивных алгоритмов, и т.д.

Пример 8. Построим функцию для вычисления биномиальных

в циклах пересчета вычислять факториалы. Но легко заметить, что факториалы можно определить рекурсивно (через самих себя) по форму-

1 при m = 0,

ле m! = (m-1)!∙m иначе. Это уже подразумевает наличие пересчета. Аналогично можно поступить и с биномиальными коэффициентами,

38

образом определенные переменные сохраняются до конца работы функции (подпрограммы) и, следовательно, отпадает необходимость их переопределения. Рекурсии, несмотря на их внешнюю привлекательность и безусловное удобство, содержат скрытые опасности (поскольку определяющие их циклы не выписаны явно). Одна из них – слишком глубокая (бесконечная) рекурсия, полностью "ломающая" программу. Тем не менее, встречаются ситуации, в которых без рекурсий обойтись трудно и нет нужды пренебрегать ими без особых на то причин.

Упражнение 2. Записать определение функции

x2 при x ≤ 0.1,

f(x) = x + с помощью рекурсии и без нее (цик-

лом с условием).

Пример 10. Текст (строковое выражение) содержит целое число, цифры которого перемешаны с другими символами. Найти квадрат этого числа. Задача решается VBA-кодом:

Next

If n = 0 Then AnalTxt = "Чисел нет." Else AnalTxt = n*n

End Function,

или Mcd-кодом:

AnalTxt(txt) : = m ← 1 n ← 0

for i 1 .. strlen(txt)

t ← substr(txt,i – 1, 1)

n ← 10∙n + str2num(t) if search("0123456789",t,0) ≥ 0

m ← -1 if t = "-" m = 1 n = 0 othetwise if(n = 0, "no numbers", n2)

Так, например, при txt = "ква 7+ числа-5-то" функция возвратит результат 5625.

В этом примере впервые встретилось использование в VBA типа Variant. Объекты этого типа могут содержать информацию произвольного базового типа. В данном случае этот тип позволяет функции возвращать как текстовую, так и числовую информацию. В Mcd вид

39

возвращаемого результата определяется самой задачей и специально не оговаривается.

Если бы потребовалось из текстовой информации извлечь последовательность целых чисел, разделенных произвольными символами, и просуммировать эти числа, то код программы был бы несколько иной. Постройте работающий код в качестве упражнения.

Как уже отмечалось, с помощью циклов удобно вычислять всевозможные суммы и произведения, особенно когда вычисления следует проводить с заданной точностью. При этом полезно сначала провести предварительный анализ, выяснить алгоритм изменения слагаемых (сомножителей), затем использовать этот алгоритм при программировании решения конкретного задания.

Пример 11. Вычислить приближенное значение cos(x) с помощью

- x2

личаются лишь множителем (2n - 1) 2n , поэтому каждое новое слага-

емое получается из предыдущего умножением на дробь указанного вида. Задачу, таким образом, можно решить кодом в VBA:

Function Cos_x(x As Double) As Double

Din n As Integer , sum As Double, p As Double, q As Double Const eps As Double = 0.0000001

sum = 1 : p = - x * x: q = 1

'***задано первое слагаемое и начальное значение суммы

Do

n = n + 2 : q = p * q / ( n * ( n - 1)) : sum = sum + q Loop Until Abs(q) < eps

Cos_x = sum End Function.

И кодом Mcd:

Cos_x(x) : = sum ← 1

ε ← 0.0000001 q ← 1

n ← 0 while |q| > ε

n ← n + 2

q ← -x2∙q n∙(n - 1)

sum ← sum + q sum

40

Пример 12. Тот же косинус может быть представлен произведе-

ведение по умолчанию считается равным единице. Далее, как и выше, следует вычислять в цикле каждый сомножитель и домножать на него предыдущий результат до тех пор, пока этот сомножитель не будет отличаться от единицы меньше допустимой погрешности. Приведем без пояснений коды соответствующих функций в VBA и Mcd.

жно вычислять dn =n и ее целую часть для определения знака слагаемого. Теперь все готово. Код функции в VBA примет следующий вид.

Function f(x As Double) As Double

Dim n As Integer, p As Double, q As Double, r As Double Dim m As Long, sum As Double, d As Double, k As Integer Const eps As Double = 0.000001

m = 3: p = x: sum = x / Sqr(3) Do: n = n + 1: d = Sqr(n)

If (Int(d) Mod 2) > 0 Then k = -1 Else k = 1

p = p*d*x*x / m: r = Sqr(3 + r): q = k*p / Sqr(3 - r) m = 9*m: sum = sum + q

Loop Until Abs(q) < eps End Function .