Информатика

writeprn("data.prn"):= C, прочитаем D:= readprn("data.prn"), добавим в файл матрицы строку k := (3 7 2 1) командой appendprn("data.prn"):= k.

Графические файлы

readrgb("путь к файлу") – чтение цветного изображения, readbmp("путь к файлу") – чтение изображения в оттенках серого.

Аналогичны функции для записи изображений. MathCad позволяет редактировать графические файлы, выполнять фильтрацию.

Пример 19. Файл "Ecoinfo.bmp", находящийся в папке "Temp" диска F, содержит текстовую информацию в графическом виде. Часть этого файла представлена рисунком 65 (слева). Прочитаем содержимое файла в массив А командой A := READBMP ("F:\Temp\Ecoinfo.bmp"). Элементы матрицы суть натуральные числа из [0, 255] (0 соответствует черному цвету, 255 белому). Попрбуем сделать изобра-

жение более четким. Положим i:= 0 .. rows(A)-1, j:= 0 .. cols(A)-1, и Bi, j := if(Ai, j < 140, 0, 255). Ниже на рис. 65 приведено исходное изображение (слева) и исправленное (справа), соответствующее в результате такой "фильтрации" матрице В.

Рис. 65

Звуковые файлы (с расширением "wav")

readwav("путь к файлу") – чтение звукового файла в матрицу, writewav("путь к файлу",s,b) – запись в звуковой файл (s – скорость

сэмплов, b – разрешение звука в битах),

getwavinfo("путь к файлу") – создает вектор с информацией о звуковом файле.

В поздних версиях Mcd (13 и далее) имеется встроенный "мастер импорта данных", помогающий в работе с файлами.

153

Программная среда Mсd дает возможность пользователю работать в трех основных режимах:

1.В режиме непосредственного вычисления.

2.В режиме аналитических преобразований.

3.В режиме численного моделирования и программирования.

По поводу непосредственных вычислений сказано достаточно. Режим аналитических преобразований по сути своей не может быть универсален, поэтому так или иначе приходится прибегать к численному моделированию. К этому побуждает и то, что многие встроенные программы и функции имеют ограниченную "связь с внешним миром". Поясним это на примерах.

Пример 20. Для функции f(x) = (x0 - 2)4 +∑3k=1(xk - x 2k-1)2 при начальном значении xk = k, k = 0, ..., 3, попытка найти минимум (очевидно, равный нулю при х = (2,

4, 16, 256)Т) с помощью встроенной функции minimize приводит к результату х = minimize(f,x) = (1.409 1.844 3.362 11.296)T – ничего похожего. Воспользуемся тео-

ремой Ферма и попробуем при тех же условиях найти решение уравнения f '(x) = 0, используя оператор градиента х и блок поска решений Given – Find. Проблема с поиском – решение не найдено. Вычислим, наконец, производную (градиент) непосредственно, вернее, приближенно, кодом:

Df(x) : = ε ← 0.0000001, p ← f(x)

for i 0 .. last(x)

y ← x, yi ← xi + ε di ← (f(y) - p) −: ε

d

Теперь блок Given Df(x) = 0 Find(x)T= (1.918 3.679 13.534 183.172) возвращает результат, намного более точный. Вычисление второй производной (т.е. матрицы Гессе в данном случае) аналитически затруднительно. Но легко воспользоваться приведенным выше кодом, слегка изменив его:

D2f(x) : = ε ← 0.0000001, p ← Df(x)

for i 0 .. last(x)

y ← x, yi ← xi + ε d‹i›← (Df(y) – p) −: ε

d

Если теперь в найденой точке экстремума вычислить A:= D2f(x) и, полагая k:=0..4, вычислить все главные определители матрицы А, получим:

|submatrix(A,0,k,0,k)| = 29.515

3.196∙103

4.618∙106

1.863

154

т.е. все эти определители положительны, по критерию Сильвестра матрица А положительно определена, следовательно, найденная точка – точка минимума.

Здесь снова в целях компактности записи нарушается правило для операторов в Mcd: каждый оператор должен быть записан в отдельной строке (запятые для разделения операторов недопустимы!). В качестве знака деления (с той же целью) использован (допустимый!) символ "−: ", верхний индекс в угловых скобках обозначает столбец матрицы, функция last() возвращает индекс последнего элемента аргумента, функция submatrix(A,i,j,p,q) возвращает подматрицу матрицы А с элементами Au,v, i ≤ u ≤ j, p ≤ v ≤ q, вертикальные скобки возвращают модуль числа, длину вектора или определитель матрицы.

Пример 21. Бесконечные суммы и произведения, в общем, аналитически не вычисляются, несмотря на наличие в Mcd соответствующих операторов. В таких ситуациях требуется программирование (см. примеры 11-13 п. 1.6 и примеры следующих разделов).

6.2. НЕКОТОРЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МОДЕЛИ

Здесь будут рассмотрены некоторые простейшие методы приближенного решения популярных задач в системе Mcd, преследуя две цели:

1)на конкретных примерах научиться программированию;

2)заглянуть в "кухню" алгоритмов, используемых в пакете Mcd, чтобы пользоваться ими сознательно.

6.2.1.Системы уравнений

В общем, в простейшей ситуации здесь можно воспользоваться кнопкой "Solve", блоками Given ... Find, Given ... Minerr, а также функциями Root, Polyroot (для многочленов), Lsolve (для линейных систем уравнений), обратной матрицей, обобщенной обратной матрицей (Geninv), а в случае двух переменных функциями Slope, Intercept.

6.2.1.1.Системы линейных уравнений

Вэтом пункте будет обсуждаться задача решения системы линейных уравнений вида Ax = b, где А – прямоугольная (чаще всего квадратная) матрица, х – искомый вектор, b – вектор (или матрица) правой части. Если А – квадратная невырожденная матрица, а b – вектор,

то задача легко решается либо использованием обратной матрицы (x = A-1b), либо применением встроенной функции lsolve(A, b), возвращающей вектор решения. В противном случае следует использовать специальные методы, выбирающие решение специальным образом.

155

А. Обыкновенная квадратная хорошо обусловленная (определитель матрицы А не слишком мал по сравнению с ее элементами) система уравнений. Ее можно легко решить методом Крамера и методом исключения Гаусса. Программирование метода Крамера довольно очевидно:

Cramer(A, b) := d |A| - 1

for k 0 .. last(b)

‹ k ›

C A, C b

x k |C| ∙ d

x

Приведем также простейший вариант метода Гаусса с выбором диагональных элементов (который используется крайне редко):

Gauss(A,b) : = A ← augment(A,b)T, n ← last(b)

for i 0 .. n

A‹i›← (Ai,i)-1∙A‹i›

for j 0 .. n

A‹j›← A‹j› - Ai,j ∙A‹i› if i ≠ j submatrix(A,n+1,n+1,0,n)T

(сравните с текстом кода в п. 1.7.3 с выбором максимального элемента).

Пример 1. Проверьте, что исключения Гаусса по диагонали не ра-

1 2 3

ботают для системы уравнений с матрицей A= 1 2 4 , det(A) = 5.

4 3 2

Б. Переопределенные системы линейных уравнений полного ранга (ранг матрицы системы равен размерности пространства аргументов) легко решаются методом псевдообратной матрицы (вариант метода наименьших квадратов) с помощью встроенной функции geninv(). В старших версиях Mcd этот метод включен в функцию lsolve, возвращающую как решение, так и псевдорешение системы линейных уравнениы (см. п. 6.1, Векторы, матрицы, СЛАУ).

Если система неполного ранга, решение (или псевдорешение) следует выбирать , исходя из каких-то дополнительных условий. Часто это - требование минимальной нормы решения (близость к началу координат). В этом случае в основу поиска решения кладется комбинация метода исключения Гаусса с выбором главного элемента (см. п. 1.7.3) и метода псевдообратной матрицы: сначала выбирается подсистема полного ранга, далее, если ее ранг равен рангу исходной системы, то находится решение методом исключения, иначе если подсистема переопределена, то находится псевдорешение (geninv), в противном случае – решение с минимальной нормой (см. п. 6.1, СЛАУ).

Минимальное по (евклидовой) норме решение можно получить, вычи-

-0.233

слив (вручную) псевдообратную матрицу: AT∙(A∙AT)-1∙b = 0.033 .

0.30.567

B. В более сложных ситуациях необходимы специальные приемы. В самом деле, как правило Крамера, так и метод Гаусса для решения системы уравнений с n неизвестными требуют порядка n3 арифметических операций. Для больших систем уравнений это довольно пессимистичная оценка (в задачах экономики решаются системы уравнений с сотнями и тысячами неизвестных). Кроме того, не всегда требуется предельная точность результата. В таких случаях может быть полезен метод итерационного уточнения решения.

Пример 3. Рассмотрим систему линейных уравнений A x=b с

A i,i. Тогда систему уравнений можно записать в виде x = s - T x .

Введем в пространстве аргумнтов норму ||x|| = max |xk|. Согласованная

k

с ней норма матрицы имеет вид: ||A|| = max ∑ |Ak,j|. Легко проверить,

k j

что в данном случае ||T|| ≤ δ < 1, так что итерационный процесс уточнения решения x (n + 1) = s - T x (n), x (0) = s, n = 0, 1, ... , будет сходиться к точному решению исходной задачи (метод простых итераций). Действительно, если рассмотреть соответствующую последователь-

ность отклонений ε(k) = x(k+1) – x(k) ( k), то она получается вследствии

итерационного поцесса: ε(n+1) = T∙ε(n) ( n). Переходя к нормам, отсюда

имеем: ||ε(n+1)|| ≤ ||T||∙||ε(n)|| ≤ δ||ε(n)|| ≤ δn||ε(1)|| → 0 (т.е. отклонения

(n→∞)

убывают со скоростью геометрической прогрессии, итерации быстро сходятся к точному решению). На каждой итерации требуется лишь порядка n2 вычислений, так что процесс достаточно экономный. Итерации можно оформить в виде функции:

157

ITER(A, b, e) := n last (b)

for i 0 . . n

r (A i, i ) -1, x i b i ∙ r s i x i , y i 0

for j 0 . . n

T i, j if (i = j, 0, A i, j ∙ r) while |x - y| > e

y x, x s - T y

x

Г. Во многих задачах матрицы линейных систем уравнений оказываются сильно разреженными (бóльшая часть элементов – нули). Эту специфику также можно "употребить во благо". Например, в слу-

чае 3-диагональных систем уравнений (А i,j = 0 при |i - j| > 1) с доминирующей диагональю (|Ai,i| > |Ai,j+1|+|Ai,j-1|) очень эффективен метод "прогонки", использующий лишь эти три диагонали (если ус-

ловие доминирования нарушено, метод может привести к большим вычислительным погрешностям). Будем считать, что система линейных уравнений имеет вид:

то из уравнения ai,0 (ui-1 - vi-1 xi ) + ai,1 xi + a i,2 xi+1 = b i получаем xi = ui - vi xi+1, где теперь

Тогда из последнего уравнения xn = un, и по формуле (1) получаем x i для всех i = n - 1, n - 2, ... , 1, 0 (обратный ход прогонки). Очевидно, что для хранения значений ui, vi можно использовать измененные xi , bi . Поэтому программа, реализующая процесс прогонки, может быть записана достаточно компактно и просто. С вычислительной точки зрения метод прогонки имеет много очевидных преимуществ перед методом итераций (прямой и обратный ход решают задачу полностью; например, программа легко справляется с системой уравнений с более чем 10000 неизвестных). В Mcd метод можно оформить в виде следующей функции:

159

В сложных случаях производную можно заменить секущей, пола-

гая k = xn-1 - xn = - (f′( )) -1 для некоторого : (xn - ) ( - xn-1) > 0, f(xn ) - f(xn-1)

что приводит к методу (секущих, квазиньютона):

xn+1 = f(xn) xn-1 - f(xn-1) xn (n = 1, 2, ... ). f(xn) - f(xn-1)

Методы легко программируются. Можно записать реализацию методов релаксации (Relax) и секущих (QuaNew) в виде функций, возвращающих приближенное решение, значение функции на решении и число итераций (точность обоих методов одинакова).

Relax(f, x, k) := n ← 0, t ← x + 1, ε ← 0.000001

while |t - x| >

t ← x, n ← n + 1 x ← t + k f(t)

x

f(x)

n

QuaNew(f, x) := n ← 0, z ← x + 1, ε ← 0.000001

y ← x + 100 , fx ← f(x), fy ← f(y)

while |z - x| >

z ← (fy x - fx y) (fy - fx) -1 x ← y, y ← z, fx ← fy

fy ← f(z), n ← n + 1

z

f(z)

n

Пример 1. Сравним оба метода при поиске решения уравнения ln(x) = (1 + x2) -1, или (1 + x2) ln(x) - 1 = 0, т. е. f(x) = 0, где f(x) = (1 +

достигает результата за семь итераций. Встроенный блок Given ... Find находит значение х = 1.4013212 со значением функции - 1.169 10 -6.