ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
1.Движение материальной точки по прямолинейной траектории описывается уравнением
x = At+Bt2+Ct3, |
(1) |
где А= 1м/с, В= -2м/с2 и С=4 м/с3. Найти в момент t1 = 3 м/с координату точки, ее скорость и ускорение.
Решение. Подставив в уравнение движения (1) значения А, В, С и t1, находим координату точки x1:
x1=93м.
Учитывая, что скорость в прямолинейном движение есть производная по времени от координаты, продифференцируем уравнение (1):
v dx |
A 2Bt 3Ct2 . |
(2) |
dt |
|
|
Подставив в это уравнение значения А, В, С и t1, получим v1 = 97 м/с.
Так как ускорение в прямолинейном движении есть производная по времени от скорости, продифференцируем уравнение (2):
a d 2x |
2B 6Ct . |
(3) |
dt2 |
|
|
Подставив в это уравнение значения В, С и t1, находим
а1=68 м/с2.
2.Материальная точка движется прямолинейно с ускорением, которое изменяется со временем по закону
а =At, |
(1) |
где А=2м/с3. |
|
Найти ускорение, скорость и координату точки в момент t1=3 c, если в началь- |
|
ный момент времени ее координата xo=0 |
и скорость vo=4м/с. |
Решение. Подставив значение t1 в формулу (1), находим ускорение a 1 = 6м/с2 .
37
Выражаем дифференциал скорости: dv=a dt или dv=At dt. Интегрируем послед-
нее выражение: dv A tdt , откуда
v |
|
At |
2 |
const . |
(2) |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
Константу (const) интегрирования находим из начального условия (при t=0 |
||||||
имеем v=vo): vo=const. Отсюда вместо (2) имеем |
|
|||||
|
At 2 |
|
||||
v |
|
|
|
|
vo . |
(3) |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
Подставляя в (3) значения А, t1 и vo, получаем v1=13 м/с.
Выражаем дифференциал координаты: dx=v dt или, используя (3), dx At22dt vodt . Интегрируем последнее выражение
dx |
|
A |
t2dt vo dt |
, откуда |
x |
At3 |
vot const . |
(4) |
||
|
2 |
|
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая начальные условия (при t=0 x=0), находим, что постоянная интегри- |
||||||||||
рования равна нулю. Отсюда из (4) имеем |
|
|
|
|
||||||
x |
At |
3 |
|
vot . |
|
|
|
|
(5) |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя в (5) значения А, t1 и v0, получаем x1=21 м.
3.Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением S=2t2+4t+1. Определить работу силы за 10 с с начала ее действия и зависи-
мость кинетической энергии от времени.
Дано: m=1кг, t=10c, S=2t2+4t+1. Найти: A, Eк=f(t).
Решение. Введем обозначение S=D·t2 + B·t +C,
где D = 2м/с2, В = 4 м/с, С = 1 м.
38
Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл:
S
A FdS .
0
Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна
F ma m d 2S . dt2
(1)
(2)
Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим
v dSdt 2Dt B ,
a d 2S 2D , dt2
Тогда F m d 2S 2Dm . dt2
Из выражения (3) определим dS: dS 2Dt B dt .
Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим
(3)
(4)
(5)
(6)
A t |
2Dm 2Dt B dt . |
(7) |
0 |
|
|
По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 с с начала ее действия:
10 |
2Dt B dt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A 2Dm |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Dt 2 |
|
10 |
Bt |
|
10 |
|
|
|
2 2 100 |
|
|
|
960Дж. |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 2 |
4 |
10 |
||||||||||
A 2Dm |
2 |
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая энергия определяется по формуле |
|
|
|
|
||||||||||||
EK |
|
mv2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (3) в (8), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
EK m 2Dt B 2 |
m(2 2 t 4)2 |
m (8t2 16t 8) . |
|
(9) |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
39
Проведем проверку размерности:
- для А: Дж см2 кг см2 с2 мс с см2 кг м Н м Дж ;
|
м2 |
|
м |
|
|
|||
- для EK: Дж |
|
|
кг |
|
|
|
кг |
м Н м Дж . |
с |
2 |
с |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: А=960 Дж, Ек=m(8·t2 + 16·t +8).
4. Две гири массами m1= 3 кг и m2 = 1 кг соединены нерастяжимой нитью через сплошной цилиндрический блок массой mб = 2 кг. Скольжение нити по блоку и трение в оси отсутствуют. Найти силы натяжения нитей Т1 и Т2 и ускорение а движения гирь.
Решение. Из различия масс тел (гирь) ясно, что |
|
|
блок будет вращаться против часовой стрелки (рис.1). |
|
|
Рассмотрим силы, действующие на отдельные тела. |
|
|
На первое тело действует сила тяжести и сила на- |
Рис. 1 |
|
тяжения нити. |
|
|
|
|
|
На основании второго закона Ньютона запишем |
|
|
m1g – T1 = m1a. |
|
(1) |
На второе тело действует сила тяжести и сила натяжения нити. Запишем второй |
||
закон Ньютона, учитывая направление ускорения: |
|
|
T2 – m2g = m2a . |
|
(2) |
Применим к блоку основное уравнение динамики вращательного движения |
|
|
T1r – T2r = Jε , |
|
(3) |
где r – радиус блока (плечо сил натяжения). Ускорения тел а будет равно тангенциальной составляющей ускорения наружных точек блока, поэтому на основании
(3) запишем:
ar . |
(4) |
40