Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Полиномиальное распределение. Формула Пуассона.

• Повторные независимые испытания

С понятием независимых событий связано понятие независимых испытаний опытов. Несколько опытов называются независимыми, если их исходы представляют собой независимые события.

Если опыт выполняется при данном комплексе условий многократно, причем вероятность наступления событий не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются повторными независимыми испытаниями.

Пусть дана задача: Игральный кубик бросают 3 раза. Какова вероятность того, что из 3-х бросков 5-ка выпадет ровно 2 раза.

p=1/6; q=5/6

= ppq + pqp + qpp = 3p²q = 0.069

• Формула Бернулли

Теорема: если производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а вероятность не появления соб. А равна q=1– p, то вероятность того, что событие А произойдет ровно m раз равна:

(1)

где m=0,1,2,3…

• Полиномиальное распределение

Теорема: пусть дана серия из n независимых опытов, в каждом из которых может произойти k событий: А₁, А₂ ,…, А_k с вероятностями: p₁, p₂ ,…,p_k, тогда вероятность того, что событие А₁ появится m₁ раз, событие А₂ – m₂ раз … событие А_k – m_k раз равна:

(2) где m₁+ m₂…+ m_k = n

Пример на формулу Бернулли:

Производят 3 независимых выстрела по цели, вероятности попадания при разных выстрела одинаковы и равны 0.9, какова вероятность: а) 3-х промахов; б) одного попадания; в) 2-х попаданий; г) 3-х попаданий?

p=0.9; q=0.1

a)

б)

в)

г)

• Формула Пуассона

Использование формулы Бернулли при больших m и n вызывает трудности в связи с громоздкими вычислениями. В этом случае возникает необходимость отыскания приближенных формул для вычисления вероятности обеспечивающих требуемую точность.

Теорема: если число испытаний неограниченно увеличивается (), а вероятность (p) появления события А в каждом испытании неограниченно уменьшается, но так, что их произведение np=const=a , то вероятность того, что событие А случится ровно m раз приближенно равна:

(3)

• Приближенная формула Пуассона

Выражение (3) называют асимптотической формулой Пуассона. Обычно используется приближенное значение формулы (3) при достаточно больших значениях n и малом p.

где a=np – параметр распределения Пуассона

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

В тех случаях когда число испытаний n велико а вероятностьРне близки к0или1 (Р≠0; Р≠1)то для вычисления феноменальной вероятности используется форма Муавра-Лапласа

Теорема:(Локальная теорема Муавра-Лапласа)

Если вероятность Рнаступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от0и1а число испытаний достаточно велико то вероятностьРn(m)может быть вычислена по приближенной формуле:

(1)

Где

Чем больше nТем точнее равенство(1)

Выражение (2) называетсяфункцией Гауса, а ее график называется кривой вероятностью.

(3)

Для функции составлены специальные таблицы.

Пример:

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7.Найти вероятность того что при200выстреле мишень будет равна160раз.

n=200

p=0,7

m=160

В тех случаях когда требуется вычислить вероятность того что в n– испытаниях событиеAпоявится не менееK₁ но не болееK₂ раз используют интегральную теорию Лапласа.

Теорема:(Интегральная теорема Муавра – Лапласа)

Если вероятность Р наступления событияАв каждом испытании постоянна и отлична от0 и1то вероятностьPn(K₁ ≤ m ≤ K₂)вычисляется по формуле:

(4)

Где ;

Чем больше число nтем точнее формула(4)

Используя функцию Гаусаможно записать:

(5)

Однако для условия вычислений при использовании формулы (4)вводят специальные функции:

(6)

(7)

Называется соответственно нормированной функцией Лапласа и функция Лапласа

Для этих функций также составлены таблицы.

Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.

Один из важнейших понятий тер. вероятности является понятие случайной величины.

Случайная величина – величина, которая принимает в результате испытаний лишь одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящие от случайных от случайных величин.

Обозначают их (X,Y,Z…), а их значения соответствующими малыми буквами,Z= {z₁,z₂, ..z_n}

Различают дискретные и непрерывные случайные величины:

-Дискретной называется случайная величина, которая принимает определенное значения с соответствующими вероятностями (стрельба по мишени).

-Непрерывная - величина, которая может принимать любое значение из определенного промежутка (измерение длины тела).

Для полного описания случайной величины необходимо знать закон распределения значения случайной величины, т.е в соответствии между отдельными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения случайной величины можно задать в виде таблицы, графика или формулы.

Пусть X– случайная величина, которая принимает значения (x₁,x₂, ..x_n) с их соответствующими вероятностями (p₁,p₂, ..p_n).

X	X1	X2	…	Xn
P	P1	P2	…	Pn

(Ряд распределения)

В данном случае з-н распределения представлен в виде таблицы, где строка описывает значение случайной величины, а 2ая – вероятности этих значений.

Т.к события несовместны, то условия нормировки для ряда распределения [∑_I p_i=1 ]

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а оси ординат вероятности этих значений.

Ломанную, соединяющую точки (x_i,p_i) называют многоугольником распределения.

Пример: Составить ряд распределения и построить многоугольник распределения числа прямых сигналов при 2-ух передачах если вероятность прямого сигнала при одном испытании = 0.2

Х - случайная величина –числа прямых сигналов при 2-ух передачах.

Х 0(0.64); 1(0.32); 2(0.04);

P_n(K)= С^k_n *p^k *q^n-k P₂(0)->n=2;k=o;p=0.2;q=0.8P₂(0)=C⁰ ₂ *p⁰*q²=1*0.64*1=0.64P₂(1)=C¹ ₂ *p¹ *q¹=0.2*0.8*2=0.32P₂(2)=C² ₂ *P²*q⁰=0.2*0.2*1=0.04

Числовые характеристики случайных величин

Величины в сжатой форме, характеризующие основные особенности распределения случайных величин называются их численными характеристиками.

Числовые характеристики используются когда достаточно иметь только общее представление о случайной величине.

Числовые характеристики делятся на 2 группы:

-характеристики положения случайной величины, они характеризуют распределение значений случайных величин на числовой оси;

- характеристики рассеивания значений случайной величины(?), относительно некоторого центра

Математическое ожидание (характеристика положения)

Пусть задана случайная дискретная ось на Х, не её р… значения и т.д. имеют соответственно вертикали,,и т.д.

Математическое ожидание дискретной случайной величины называется сумма произведений все её возможных значений на соответствующую вероятность.

M(X) – математическое ожидание

По окр имеем:

M(X)=++…+

X	2	3	10
P	0.1	0.4	0.5

M(X)= 2*0.1+3*0.4+10*0.5=6.4

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины = самой постоянной M(X)=C

2. Постоянный множитель можно выносить за знак системного выражения M(CX)=CM(X)

3. Математическое ожидание произведение двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий M(XY)=M(X)*M(Y)

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин M(X+Y)=M(X)+M(Y)

Следствие: математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий

Мат. ожидание числа появлений события В в n неизвестных испытаниях равно произведению числа появления событий данных испытаний на вероятность появления события

ПРИМЕР. Вероятность отказа детали за время испытаний на надежность = 0,3. Найти мат.ожидание числа отказавших деталей, если в испытании участвуют 10 деталей. M(X)=n*p M(X)=0.3*10=3

Дисперсия

К характеристикам рассеивания относятся дисперсия и средне квадратичное отклонение

Дисперсией дискретной случайной величина называется мат ожидание квадрата отклонения

D(x)=M(x-M(x)² ) ,где x-M(x) отклонение случайной величина отклонения мат ожидания

При вычислении дисперсии удобно пользоваться формулой

D(x) = M(x²)-(M(x))²

Пример :

Дано

X² 1 2 3

P 0.3 0,5 0,2

M(x² ) = 1*0.3+2*0.5+3*0.2=7.3

D(x) = M(x²)-(M(x))²= 7.3-2.3²= 2.01

Свойства дисперсии