Фгбоу впо «калининградский государственный

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ИЗУЧЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО И

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ

Методическое указание к выполнению лабораторной работы по разделу «Механика» для студентов всех форм обучения по всем специальностям

Калининград

2001

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

1.1. Ознакомление с физическим и математическим маятниками, изучение периодического движения маятников как примера колебаний в системах с одной степенью свободы.

1.2. Измерение ускорения силы тяжести с помощью математического маятника.

1.3. Измерение периода колебаний физического маятника и сравнение его с расчётным значением.

1.4. Измерение момента инерции тела сложной формы с помощью физического маятника.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ РЕКВИЗИТ: груз, ручной секундомер (при необходимости).

2. Введение

Колебаниями называются периодические изменения состояния некоторой системы, обладающей положением устойчивого равновесия (покоя) и характеризующейся собственной частотой колебаний.

Частным случаем (и наиболее наглядным) являются механические системы (устройства), в которых могут возникать периодические движения (поступательное, вращательное, плоское и т.д.), т.е. колебания, когда через равные интервалы времени повторяются значения координат, скоростей, ускорений, энергий и т.п. тел (точек), образующих данную систему.

Если положение механической системы в пространстве можно определить с помощью одного параметра (линейной либо угловой координаты), тогда такая система называется системой с одной степенью свободы.

В данной работе будут рассмотрены механические системы с одной степенью свободы, обладающие положением устойчивого равновесия и собственной частотой колебаний.

Частотой(обыкновенной) νо называется число одинаковых состояний в единицу времени. Единица измерения ν₀-Гц. Однако при изучении колебаний оказывается удобным использовать также другой интервал времени Δt = 2π сек. и, соответственно, применять другое значение частоты КО, как числа одинаковых состояний за время 2π сек. Частота КО называется собственной циклической частотой данной системы, её размерность [К₀] =c^-1и она связана с частотойν₀соотношениемК₀ = 2π ν₀. Необходимость введения двух значений частот объясняется тем, что обыкновенную частотуν₀можно найти из опыта, измеряя число одинаковых состояний на некотором промежутке времени; циклическую частотуК₀можно вычислить теоретически, зная параметры системы.Периодом колебанийТ₀называется интервал времени между двумя ближайшими одинаковыми состояниями. Очевидно:cиc.

Физическим маятникомназывается устройство, содержащее твёрдое тело, подвешенное в гравитационном поле на оси, не проходящей через центр масс тела (рис. 1).

d

φ

D- точка на оси подвеса

С - центр масс

|DC| = l

d - плечо силы

C

D

Рис. 1

Согласно рис. 1, подвешенное в точкеDтело будет покоиться (находиться в состоянии устойчивого равновесия), если точкиD и Cбудут расположены на одной вертикали. В этом случае сила тяжестиG уравновешена силой реакцииNоси подвеса. Кроме того, все моменты сил относительно оси подвеса равны нулю.

Однако, если тело отклонить на некоторый угол φ(показан на рис. 1), тогда появляется момент силы тяжести, численно равный

φ,

где φ =d(момент силы реакции остается нулевым, т.к. эта сила приложена в точке подвеса).

Учитывая направления проекции вектора момента , получаем следующее уравнение вращательного движения тела вокруг оси в точкеD:

φ, (1)

где - момент инерции тела относительно оси подвеса;

- масса тела;

- ускорение силы тяжести.

Будем считать угол отклонения φмалым, чтобы выполнялось условие

φ ≈ φ

Тогда уравнение (1) запишется в виде:

φ (2)

Преобразуем уравнение (2), перенося все его члены в левую часть и разделив на коэффициент при первом члене:

= 0 (3)

Обозначим:

=К₀²

и получим

φ = 0 (3а)

В математике уравнения типа (3а) называются линейными дифференциальнымиуравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.Заметим, что линейность этого уравнения в данном случае обусловлена малостью отклонений от положения устойчивого равновесия. В теории дифференциальных уравнений доказано, что решением уравнения (3а) является функция

, (4)

где - амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия);

- начальная фаза, т.е. параметр, характеризующий начальное положение тела;

- собственная циклическая частота колебаний.

Подчеркнём, что частота может быть вычислена заранее, если известны момент инерции, масса и положение центра масс тела.

Согласно выражению (4) угол поворота будет периодически изменяться с течением времени, т.е. тело, подвешенное, как показано на рис. 1, начнет поочерёдно отклоняться то влево, то вправо от вертикали, повторяя свои положения через равные промежутки времени. Таким образом, возникают колебания, в процессе которых будут повторяться также значения угловых скоростей и ускорений, кинетической и потенциальной энергий и т.д. Само же тело при этом совершает частный вид механического движения - вращение вокруг оси подвеса.

Математическим маятником называется некоторое идеализированное устройство, содержащее материальную точку, подвешенную в гравитационном поле на жёстком невесомом стержне, способном вращаться на оси, проходящей через точку подвеса.

Очевидно, что математический маятник - это частный случай физического маятника при условии, что центр массы подвешенного тела расположен в его нижней точке. Следовательно, момент инерции в такой конструкции равен

J=ml² , гдеl - расстояние до оси подвеса.

Уравнение (3) запишется в виде:

или φ = 0, (5)

где

Решением уравнения (5) попрежнему будет функция вида (4). Но при этом частота К₀определяется только длинойl, т.е. расстоянием от оси подвеса до точки, где сосредоточена масса системы.