3. Уравнения динамики и энергетического баланса при качении тел по наклонным поверхностям

3.1. Уравнения динамики и расчёты коэффициента сопротивления качению

В данной работе рассматривается качение для плоского типа движения тела. Движение твёрдого тела называется плоским (или плоско – параллельным), если тело, перемещаясь в пространстве, совершает повороты, не имея закреплённых точек, и при этом каждая точка тела движется в одной и той же плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение могут совершать тела разной формы, в данном случае: стальной шар, катящийся по наклонным поверхностям. Исследуемое тело (шар) является однородным, так что центр его масс совпадает с центром симметрии. Следует подчеркнуть, что только при выполнении этого условия траектория центра масс повторяет профиль опорной поверхности, вдоль которой перемещается вместе с катящимся телом ось мгновенного вращения. В классической механике доказано, что в этом случае для теоретических расчётов можно использовать уравнение динамики вращательного движения тела относительно мгновенной оси в виде:

(6)

Здесь:  - угловое ускорение;

J_p и M_p – момент инерции и суммарный момент внешних сил относительно мгновенной оси, проходящей через точку касания между телом и опорой поверхностью (обозначается буквой P, см. рис. 2).

Д

C

M_s



V_c, a_c



x

z

y

ля более детальных расчётов уравнение (6) дополняют: условием кинематической связи между ускорением центра масса_с и угловым ускорением тела ; уравнением динамики движения центра масс (II закон динамики Ньютона) и уравнением динамики вращательного движения тела относительно

Р

G

P

F_сц

ис.2

оси, проходящей через центр масс параллельно мгновенной оси в т. Р.

На рис. 2 изображено однородное тело (шар радиусом r), скатывающееся без скольжения по наклонной поверхности. Направление поворота с угловыми

скоростью  и ускорением  показано изогнутой стрелкой (при этом векторы инаправлены вдоль осиY). Показаны направления скорости V_c и ускорения a_c центра масс тела – т. С. В т. Р – м. ц. с. и здесь приложена сила F_сц. Сила тяжести G всегда приложена в центре масс. Пара сил с моментом сопротивления M_s обозначена здесь изогнутой стрелкой (силы N и G_N, образующие эту пару сил, показаны на рис 1б).

Принимая, что скатывающееся тело совершает плоское движение, запишем полную систему уравнений динамики в проекциях на оси координат (см. рис. 2):

Система уравнений (7) дана с учётом момента сопротивления M_s, который действует при вычислении моментов сил как относительно т. Р, так и относительно т. С. Соотношение (7г) – это условие кинематической связи между a_c и , выполняющееся только при качении без скольжения.

Уравнения (7) описывают качение ведомого тела, и сила F_сц направлена противоположно ускорению центра масс a_c. Отметим, что с ростом угла наклона  величиной M_s для упрощения некоторых расчётов можно пренебречь, т. к. в (7а) sin  - возрастает, а в (7б), где F_сц и M_s зависят от величины cos , надо учитывать, что всегда значения коэффициентов <<. Это условие было использовано при выводе формулы (2) для предельного значения коэффициента , обеспечивающего сцепление с ростом угла наклона.

Общий вид решения для ускорения a_c, скорости V_c и длины пути l_c центра масс тела легко получается из уравнения (7а) при условиях постоянства угла наклона  и момента сопротивления M_s. При этих условиях движение тела является равнопеременным, т. е. качением с постоянными угловым ускорением  и ускорением центра масс a_c. Для скатывающегося шара с радиусом r такие решения имеют вид:

(8а)

(8б)

(8в)

Здесь:t_k – время скатывания;

l_c – длина прямолинейного пути центра масс шара.

Из (8в) получаем следующую формулу для коэффициента сопротивления качению :

(9)

Формулу (9) можно, в принципе, использовать для определения величины , измеряя в эксперименте время скатывания t_k на пути l_c при заданном угле наклона. Однако, как показывает предварительный анализ, постановка таких измерений нецелесообразна, т. к. требует громоздких устройств и особо точных приборов.

Это объясняется тем, что значения коэффициентов  обычно невелики. Например, при качении стальных шариков по стальным поверхностям значения  лежат в интервале:  = (1 – 5)10^-3 см. Несложный анализ формулы (8в) показывает, что при таких значениях  ожидаемая разница времён скатывания без учёта и с учётом сопротивления качению даже на длине l_c  100м при углах   (5 – 10) лежит в интервале (0,1 – 0,2) сек при времени скатывания t_k  (14 – -15)сек.

Такая малая разность времён скатывания "маскируется" погрешностями измерений параметров в формуле (9). Следовательно, результаты измерений коэффициента  на основе решений уравнений динамики (7) не дают достоверных сведений о его величине, если в опытах не используется особо точная (и, соответственно, дорогая) аппаратура.

В следующем разделе 3.2 рассмотрена более простая методика определения коэффициента , основанная на применении уравнения энергетического баланса.