Игровые модели

Существуют ситуации, когда оптимизационные модели не могут быть применены непосредственно. В основном это характерно для случаев, когда система содержит подсистемы с разными и отчасти' противоречивыми целями. Например, при описании целенаправлен­ной деятельности коллективов людей, принятии политических и эко­номических решений в условиях неопределенности необходимо ана­лизировать интересы и цели объектов, вступающих в контакт, рас­сматривать их поведение, отыскивать оптимальные стратегии пове­дения.

Случаи, когда для объекта моделирования характерно наличие противодействующих сил или неопределенности параметров, свойств или поведения, рассматриваются теорией игр [15, 23]. Теория игр — теория математических моделей принятия оптимальных ре­шений в условиях конфликта или неопределенности. Под конфлик­том следует понимать любое разногласие, возникающее вследствие несовпадения интересов.

В теории игр важное значение имеет понятие неопределенности. Рассмотрим его на примерах. При моделировании спроса на какой-либо товар могут быть известны только либо нижний и верхний пределы колебания спроса, либо статистическое распределение воз­можных значений спроса. Тогда в первом случае имеет место гак называемая стратегическая неопределенность, когда неизвестен даже закон распределений событий (значений спроса), а во вто­ром — статистическая неопределенность, соответствующая случаю, при котором нельзя точно назвать значение спроса, хотя его закон распределения известен. Неопределенности такого типа могут возникнуть в результате действии конкурента, удовлетворяющих какую-то часть спроса, или вследствие «игры природы» (изменения климатических, социальных и других условий). В любой игре име­ются следующие элементы: множество всех игроков I ={1,2,...,n}, где ί Є I — произвольный игрок. Всякий игрок i имеет в своем рас­поряжении множество стратегий поведения, или возможных дейст­вий, S ί.

Процесс игры заключается в выборе каждым игроком одной оп­ределенной стратегии S ί Є S ί, обеспечивающей, например, игроку ί максимальный выигрыш Hί(Sj). Функция Hί, называется функцией выигрыша игрока i.

Таким образом, налицо множество стратегий игроков (S1, S₂, ..., S_n) - S_/r называемое ситуацией, в которой каждый игрок или их определенная группа (коалиция) имеет какой-либо выигрыш (про­игрыш). Множество всех ситуаций

S = S_] xS₂x ... xS_n.

Игры бывают бескоалиционными, когда целью каждого участ­ника является получение максимального индивидуального выигры­ша, и коалиционные, связанные с обеспечением максимального вы­игрыша для всей коалиции игроков. Если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого при любой стратегии, то игра называется антагонистической. Если число стратегий одного игрока конечно, то такая игра носит название матричной игры.

Основные принципы определения оптимального поведения иг­роков сводятся к принципам устойчивости, которые состоят в том, что отклонение от выбранной оптимальной стратегии уменьшает выигрыш игрока. Например, для бескоалиционной игры наилучшая стратегия поведения соответствует принципу равновесия, при кото­ром ни одному игроку не выгодно менять стратегию, если стратегии у остальных игроков остаются неизменными.

Рассмотрим пример из теории игр, поясняющий сказанное выше.

Задача о выборе мощности предприятия обслуживания. Выбор мощности (числа рабочих мест) предприятия обслуживания в круп­ном городе со сложной системой расселения людей и многочислен­ными взаимопересекающимися пассажиропотоками (на работу, об­ратно, в места отдыха и т.п.) является непростой задачей, поскольку необходимо, с одной стороны, удовлетворить спрос на данный вид услуг, а с другой — обеспечить рентабельную работу предприятия. Задачу трудно решить из-за отсутствия надежной информации о спросе. Сложность нахождения спроса в определенной точке круп­ного города обусловливается большой мобильностью населения, плохо поддающейся анализу. Особенно нелегко определить спрос на услуги вблизи вокзалов, рынков, торговых центров, автостанций и пр.

Попытаемся решить эту задачу методами теории игр. В данном случае безразлично, о каком виде обслуживания пойдет речь (пред­приятие бытового обслуживания, общественного питания или тор­говли, гостиница и т.п.).

Предположим, что данные о фактическом спросе на услуги в точке размещения предприятия отсутствуют. Известен только закон распределения вероятностей значений спроса. Требуется определить оптимальную мощность предприятия.

Закон распределения вероятностей спроса имеет следующий вид:

Спрос (на число рабочих мест)	0	10	20	30	40	50
Вероятность Рj:	0,01	0.09	0,2	0,3	0.3	0,1

Рассмотрим предварительно структуру затрат на строительство и содержание предприятия обслуживания.

Статья 1. Ежегодные расходы, не зависящие от числа рабочих мест предприятия:

• стоимость строительства и оборудования — 100 000 руб.;

• норма амортизации — 10%, затраты на амортизацию здания и оборудования — 10 000 руб.;

• затраты на ремонт и поддержание помещения в рабочем состоянии – 14 000 руб.

• зарплата сторожа и уборщиц — 1500 руб. Итого по статье 1 — 25 500 руб.

Статья 2. Ежегодные затраты, зависящие от числа рабочих мест (табл. 1.2.1).

Таблица 1.2.1

Зависимость ежегодных затрат от числа рабочих мест, руб.

Статья затрат	Число рабочих мест
	20	30	40	50
Оборотные средства Зарплата рабочих Прочие затраты	80 000 15 000 500	120 000 22 500 750	160 000 30 000 1 000	200 000 37 500 1 250
Итого	95 500	143 250	191 000	238 750

Статья 3. Ежегодные затраты, пропорциональные среднему числу фактически загруженных рабочих мест (табл. 1.2.2).

Таблица 1.2.2

Ежегодные затраты, зависящие от числа загруженных рабочих мест

Число загруженных рабочих мест R	0	10	20	30	40	50
Затраты на газ. воду, электроэнер­гию, канализацию, отопление, руб.	0	36 000	72 000	108 000	144 000	180 000

Найдем средний за год объем реализации услуг, предоставляе­мых предприятием, при определенном числе рабочих мест (табл. 1.2.3).

Таблица 1.2.3

Расчет объема		реализации услуг за год
Число загруженных рабочих мест (R)	0	10	20	30		40	50
Объем реализации услуг, руб.	0	219 000	438 000	657 000		876 000	1 095 000

В зависимости от затрат и предполагаемого объема реализации услуг определим прибыль (убыток) предприятия (табл. 1.2.4).

Таблица 1.2.4

Оценка прибыли Si, соответствующей различным стратегиям, руб./год

Номер стратегии	Число рабо­чих мест	R -	= 0	R	= 10	R	= 20	R =	= 30	R --	= 40	R =	50
1	20	-121	000	62	000	245	000	245	000	245	000	245	000
2	30	-168	750	14	250	197	250	380	250	380	250	380	250
3	40	-216	500	—33	500	149	500	332	500	515	500	515	500
4	50	-264	250	- 81	250	101	750	284	750	467	750	650	750

Итак, мы получили данные, характеризующие экономическую эффективность предприятия обслуживания в зависимости от числа рабочих мест (мощности) и величины спроса. Однако мы не имеем информации о фактическом спросе на услуги данного предприятия, известно только распределение вероятностей отдельных значений cпроса. Воспользуемся ими для определения функции выигрыша по каждой

Представим функцию выигрыша H,{Sj) в виде

6 -3

Hί ( Sί) = ∑ Sί Pj * 10

J = 1

гдеi — номер стратегии, i = 1; 4;

j — число рабочих мест на предприятии, кратное 10, J = 1; 6;

Sj,- — прибыль предприятия, соответствующая стратегии ί;

Р j — вероятность спроса на число рабочих мест j на предпри­ятии.

Подставляя в приведенную формулу данные из соответствующих таблиц, найдем численные значения функции выигрыша для четы­рех стратегий:

H1(S1) = 121-0,01 + 62-0,09 + 245-0,2 + 245-0,3 + 245-0,3 + + 245-0,1 =224,87;

H₂(S₂) = 168,75-0.01 + 14.25-0,09 + 197,250,2 + 380,25-0,3 + + 380,25-0,3 + 380,25-0,1 = 305,22;

H₃(S₃) = -216,50.01 - 33,5-0,09 + 149,50,2 + 332,50.3 + + 515,5-0,3 + 515,5-0,1 = 330,67;

H₄(S₄) = -264,250,01 - 81,250,09 + 101,750,2 + 284.750,3 + + 467,750,3 + 650,75-0,1 = 301,12.

Сравнивая полученные значения функции выигрыша, легко сде­лать вывод, что оптимальное число рабочих мест предприятия при заданном законе распределения спроса соответствует третьей стра­тегии и равно 40.