Оптимизационные модели

Важный класс моделей образуют оптимизационные модели. Их появление и применение вызвано необходимостью решения практи­ческих задач, возникающих в экономике и технике. Требовалось перевозить грузы с минимальными издержками, правильно выби­рать режимы резания станков, регулировать частоту вращения электродвигателей, обеспечивать полеты самолетов по заданному курсу, раскраивать детали из листовых материалов с минимальными отходами и т.д. Решение таких задач стимулировало становление и развитие теории автоматического управления, теории информации и математического программирования. Постепенно эти научные на­правления расширились, обогатились практическими примерами. Выяснилось, что их можно применять для решения разнообразных задач независимо от их конкретной природы. В дальнейшем учены­ми были высказаны обобщающие идеи, введены основополагающие принципы и термины, которые объединили теорию автоматического управления, теорию информации, теорию систем и некоторые дру­гие научные направления. В результате образовалась новая наука об управлении — кибернетика. Принципы кибернетики стали при­меняться для познания процессов, протекающих в живых организ­мах, социальных и экономических системах.

Использование принципов и идей кибернетики для получения оптимальных решений при управлении производством и экономи­кой привело к появлению многочисленных экономико-математичес­ких оптимизационных моделей. Варианты планов экономического развития, полученные на основе построения таких моделей, как пра­вило, оказывались лучше интуитивных. Схемы рационального раз­мещения производительных сил, соответствующие оптимальным ре­шениям, обеспечивают существенную экономию затрат, более эф­фективное использование имеющихся ресурсов.

Особенностью оптимизационных моделей является целенаправ­ленность решения и явная оценка эффективности (качества) различ­ных вариантов решения. В отличие от моделей без управления оп­тимизационные модели предполагают выявление цели управления и построение целевой функции. Целевая функция, как упоминалось ранее, задает желаемые значения определенных параметров (свойств, выходов) системы или процесса, выраженные в математи­ческой форме.

Суть получения оптимального решения на модели заключается в следующем. Допустим, что известна цель управления (целевая функция), она может быть достигнута при разных значениях пара­метров данного объекта или различных вариантах решения и име­ется возможность оценить эффективность (степень достижения цели) каждого варианта. Тогда получение оптимального решения означа­ет выбор из множества возможных решений одного, обеспечиваю­щего максимальную эффективность.

Задача об оптимальной перевозке грузов (транспортная задача)

[2 — 4]. Пусть осуществляется производство некоторого товара в пунктах Л], А1, A2_t, ..., А_т. Объем производства товара в каждом пункте равен соответственно а 1_ь а2, ..., αί, ..., аm. Товар необходимо доставить в магазины или потребителям, находящимся в других на­селенных пунктах: B1, В₂, ..., Bj, ..., В_п. Известна потребность каж­дого потребителя в товаре: b_x, b₂, ..., bj, ..., b_n. Задана также стои­мость Сij транспортировки товара из каждого пункта производства Aί в каждый магазин Bj. Требуется составить план завоза товара в магазины, обеспечивающий удовлетворение их спроса при мини­мальных транспортных издержках.

Пусть Xjj — объем товара, перевезенного из пункта производства с индексом i в магазин с индексом j. Тогда целевая функция С транс­портной задачи записывается в виде

m n

C = ∑ ∑ C ίjX ίj→ min

ί= 1 j= 1

при условии, что в каждый магазин будет завезено товара не больше требуемого количества, т.е.

m

∑ X ίj ≤ b j

n

и в каждом пункте Aί будет выпущено количество товара, не превы­шающее возможный объем производства:

m

∑ X ίj ≤ α ί

j= 1

Целевая функция С обеспечивает минимизацию затрат на транс­портировку товара для всех магазинов в целом.

Каждый вариант доставки товара в магазины дает вполне опре­деленное значение целевой функции С. Наиболее эффективный ва­риант в данном случае обеспечивает минимальные затраты С.

К решению задачи такого типа сводится большое число практи­ческих проблем.

Задача о пользе услуг. Построим оптимизационную модель, у ко­торой некоторые переменные могут принимать только целые значе­ния. Она называется целочисленной моделью линейного програм­мирования. Допустим, перед человеком стоит вопрос, какими вида­ми бытовых услуг — у1, у2, ..., у„ — ему следует воспользоваться, чтобы максимально облегчить свой быт (сэкономить время). Пред­полагается, что сумма денег, которой он располагает, равна d. После некоторого раздумья человек составил список:

услуга У1 стоит d1 рублей и экономит t 1 часов,

» у2 » d 2 » » » t 2 » ,

-----------------------------------

» уj » d j » » » t j » ,

-----------------------------------

» у n » d n» » » t n » .

Таким образом, каждая услуга экономит определенное время, которое может быть полезно использовано. Спрашивается, какими услугами следует воспользоваться?

Для построения модели введем переменную хj, равную единице, если услуга уj потребляется, и равную нулю, если человек отказы­вается от этой услуги.

Целевая функция модели выглядит так:

n

Т = max ∑ t jXj.

J j=1

По приведенной формуле находят максимальное время, которое можно сэкономить в результате потребления бытовых услуг при сле­дующих условиях:

n

∑ dj x j ≤ D

J =1

(нельзя истратить денег на услуги больше имеющейся суммы); все Xj — целые.

Второе условие — условие целочисленноcти — отличает эту за­дачу от обычных задач линейного программирования.

Класс оптимизационных моделей очень широк. Приведенные выше примеры относятся к моделям линейного программирования. Существуют также модели динамического программирования, в ко­торых требуется отыскивать не одно, а несколько решений, напри­мер решения, принимаемые в различные моменты времени; экстре­мальные модели, позволяющие найти экстремальное значение одно­го или нескольких параметров объекта; гомеостатические модели, предназначенные для удержания параметров объекта в определен­ных пределах при наличии каких-либо возмущающих воздействий, и целый ряд других.