4. О физических свойствах веществ и эффектах в них, использованных в изделиях мст. Понятие тензора

Вы изучили курс материалов, где в основном рассматриваются их свойства. Останавливались мы также на структуре кристаллической решетки, в частности рассматривали свойства кристаллов кремния в связи с его структурой. Уже ясно, что это важно в технологии (например: при анизотропном травлении), но это – одна сторона вопроса. В МСТ широко используются разнообразные физические эффекты в материалах, в том числе кристаллах. В частности, физические эффекты широко используются в сенсорике, при создании датчиков, где решающую роль играют эффекты, связанные с преобразованием одной физической величины в другую, которая легче измеряется. Широко (и не только для создания сенсоров) используются оптические эффекты в кристаллах в их связи с деформацией кристаллов, например, за счет ультразвуковых колебаний. Таких эффектов – многие десятки и далеко не все из них используются. Мы ограничимся кратким изложением подходов к описанию таких эффектов и нескольких примеров. Полнее они изучаются, например, в кристаллофизике, хотя некоторые из них имеют место и в аморфных материалах.

О тензорном описании физических свойств кристаллов

Вследствие анизотропии свойств кристаллов явление, вызванное в кристалле каким либо воздействием (т.е. реакция кристалла на это воздействие) не совпадает по направлению с этим воздействием. Вообще связь между воздействием, направленным на какое-то свойство кристалла и явлением (реакций кристалла) представляет соотношением

Явление = свойство ·воздействие.

Если воздействие и реакции на него скалярны, то и соответствующее свойство изотропно (скалярно). Простейший пример: связь плотности и температуры. Здесь бессмысленно говорить о направлении. Значение скаляра полностью определяется заданием одного числа. Скаляры можно назвать тензорами нулевого ранга. Такие величины не меняются при переходе от одной системы координат к другой.

Векторы – (тензоры 1-го ранга) представляют физические величины, которые могут быть определены только по отношению к направлению. Пример: механическая сила, приложенная в некоторой точке, будет определена как величиной, так и направлением. Векторами является напряженность электрического и магнитного поля, момент магнитного диполя, градиент температуры и пр.

В прямоугольной системе координат вектор задается компонентами вектора вдоль координатных осей, т.е.

E = (E₁,E₂,E₃).

Вектор называется тензором первого ранга. Операции с векторами являются предметом векторного анализа (правила скалярного и векторного произведения, понятия градиента, дивергенции, ротора и пр.).

Тензоры второго ранга. Понятие вектора можно расширить. Рассмотрим пример с плотностью электрического тока сначала в изотропной среде. Если к проводнику приложено электрическое поле E, то плотность j (тоже вектор) пропорциональна E и совпадает по направлению с вектором E, т.е.

j =τ E,

где τ - электропроводность. (Предполагается, что закон Ома справедлив).

В координатах x₁, x₂, x₃

j = [j₁,j₂,j₃] и E = [E₁,E₂,E₃],

причем

j₁ = τ E₁, j₂ = τ E₂, j₃ = τ E₃.

Каждая компонента j пропорциональна соответствующей компоненте E.

Теперь поговорим о кристалле, анизотропном по электропроводности, это значит, что электропроводность зависит от направления и векторы E и j не будут совпадать по направлению, т.е.

j₁ = τ₁₁ E₁ + τ₁₂ E₂ + τ₁₃ E₃,

j₂ = τ₂₁ E₁ + τ₂₂ E₂ + τ₂₃ E₃,

j₃ = τ₃₁ E₁ + τ₃₂ E₂ + τ₃₃ E₃.

Здесь τ₁₁, τ₁₂ ..... константы (их 9). Каждая компонента j линейно зависит от всех трех компонент E.

В частности, если поле приложено вдоль одной из осей, например, x₁, т.о.

E = (E₁,0,0),

причем

j₁ = τ₁₁ E₁,

j₂ = τ₂₁ E₁,

j₃ = τ₃₁ E₁.

Т.е. вектор j все равно имеет составляющие по всем трем осям.

Т.о., чтобы определить электропроводность анизотропного кристалла необходимо задать девять коэффициентов вида τ₁₁ , τ₁₂ , … .

Для удобства их можно записать в виде квадратной таблицы:

τ₁₁ τ₁₂ τ₁₃

τ₂₁ τ₂₂ τ₂₃

τ₃₁ τ₃₂ τ_33.

Такая таблица называется тензором второго ранга; τ₁₁ , τ₁₂ , τ₁₃ составляют компоненты тензора.

В результате получим три типа величин:

а) Тензор нулевого ранга (скаляр), определяется единственным числом, не зависящим от системы координат.

б) Тензор первого ранга (вектор), определяется тремя числами (компонентами), связанными с осями координат.

в) Тензор второго ранга определяется девятью числами (компонентами) каждое из которых связано с парой осей координат, взятых в определенном порядке.

При этом число индексов равно рангу тензора. Приводят также тензоры третьего и четвертого рангов, о них позже. Все сказанное справедливо не только для электропроводности.

В общем случае, если свойство Т связывает два вектора p(p₁,p₂,p₃) и g(g₁,g₂,g₃),

таким образом, что

p₁ = T₁₁ g₁ + T₁₂ g₂ + T₁₃ g₃,

p₁ = T₂₁ g₁ + T₂₂ g₂ + T₂₃ g₃, (8)

p₁ = T₃₁ g₁ + T₃₂ g₂ + T₃₃ g₃.

где T₁₁, T₁₂,….- константы, то говорят, что T₁₁, T₁₂,…. образуют тензор второго ранга.

Т₁₁ T₁₂ T₁₃

T₂₁ T₂₂ T₂₃

T₃₁ T₃₂ T₃₃

В таблице 5 приведены некоторые примеры свойств, описываемых тензорами второго ранга.

Таблица 5

Тензорное свойство	Воздействие	Явление, эффект
Удельная электропроводность Коэффициенты теплопроводности Диэлектрическая проницаемость Диэлектрическая восприимчивость Магнитная проницаемость Магнитная восприимчивость	Напряженность электрического поля Температурный градиент Напряженность электрического поля То же Напряженность магнитного поля То же	Плотность электрического тока Плотность теплового потока Электрическая индукция Диэлектрическая поляризация Магнитная индукция Намагниченность

‌Сокращенная запись.

Уравнение (8) можно записать в виде:

p₁ =∑³_j=1 T_ij g_j,

p₂ =∑³_j=1 T_ij g_j, (9)

p₃ =∑³_j=1 T_ij g_j,

или еще компактнее

p_i =∑³_j=1 T_ij g_j (I =1,2,3). (10)

Теперь опустим знак суммирования

p_i = T_ij g_j, (i, j =1,2,3 , (11)

введя правило суммирования (по Эйнштейну): если в одном и том же члене индекс (j) повторяется дважды, то автоматически подразумевается суммирование по этому индексу.

Индекс j в уравнениях (8) – (11) называется индексом суммирования (немым индексом), индекс i называется свободным.

В уравнении, записанном в сокращенной форме, свободные индексы должны быть одинаковы во всех членах уравнения в обеих его частях, а индексы суммирования должны встречаться по два раза в каждом члене суммы.

Можно сказать, что индексы суммирования суммируют соотношение между векторами p и g в кристалле. Выражение (11) для изотропного кристалла упрощается:

p_i = T g_j, (12)

где T= const.

Сокращенно тензор, характеризующий свойство кристалла, обозначают [T_ij],

иногда скобки опускают: T_ij . Точно также вместо p(p₁,p₂,p₃) обозначают [p_i] или просто p_i.

Важный для практики вопрос о преобразовании координат тензора мы не рассматриваем.