M2_8_2012

2012-2013 уч. год, №2, 8 кл. Математика. Геометрия

Задачи и вопросы для самостоятельного решения

В контрольных вопросах и задачах проверяются Ваши знания основного курса и знакомство с материалом нашего задания.

1.Задачи на построение желательно оформлять так, как это сделано в §2 Задания. Каждый шаг решения содержит одно основное построение, которое должно быть указано.

2.Контрольные вопросы и задачи могут быть не только по темам, повторенным в этом Задании (повторить весь учебник невозможно), но и по материалу, изученному Вами в школе. При ответе на некоторые вопросы придѐтся открыть учебник.

3.Ответы на контрольные вопросы надо давать обоснованные. Приведѐм примеры.

Вопрос 1. Точки K и L делят диагональ AC параллелограмма ABCD

2012, ЗФТШ МФТИ, Пиголкина Татьяна Сергеевна

21

2012-2013 уч. год, №2, 8 кл. Математика. Геометрия

Контрольные вопросы

1(3). а) Что означает равенство ABC KMN ?

б) Что можно сказать о сторонах треугольника ABC, если

ABC ACB?

в) Точка К лежит на стороне BC треугольника ABC . Может ли быть

AKC KAB?

2(3). а) Когда из трех отрезков с длинами a,b и с можно составить треугольник?

б) Одна сторона треугольника равна 0,8м, другая сторона 2,1м. Чему равна третья сторона, если периметр треугольника выражается целым числом метров?

3(8). а) Чему равен угол (см. рис. 31 )? б) Чему равны углы равнобедренного

треугольника, если один из его внешних

углов равен 110 ?

в) Чему равна сумма внешних углов треугольника, выпуклых четырехуголь-

ника и пятиугольника? Рис. 31 г*) Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый

n- угольник?

4(4). Как доказать:

а) Любая точка биссектрисы угла равноудалена от стороны этого угла? б) Если биссектриса является высотой, то треугольник равнобедрен-

ный?

5(4). а) В чем состоит метод доказательства «от противного»?

б) Докажите этим методом, что не существует треугольника, в котором медиана к одной стороне равна полусумме двух других сторон, т. е.

a b mc 2 .

6(6). Говорят, что отрезок AB виден из точки M под углом , если

AMB .

а) Дана окружность с диаметром AB. Доказать, что из любой точки M , лежащей вне круга и не на прямой AB , диаметр AB виден под острым углом.

2012, ЗФТШ МФТИ, Пиголкина Татьяна Сергеевна

22

2012-2013 уч. год, №2, 8 кл. Математика. Геометрия

б*) На каждой из сторон выпуклого 4-х угольника как на диаметре построена окружность. Докажите, что построенные 4 круга покроют весь 4-х угольник, т. е. не найдется точки четырехугольника, не принадлежащей ни одному из 4-х кругов (метод от противного).

7(4). а) Дать определение средней линии и сформулировать теорему о средней линии.

б) Доказать, что середины сторон выпуклого 4-х угольника являются вершинами параллелограмма.

в) При каких условиях этот параллелограмм будет ромбом?

8(3). Что называется обратной теоремой? Всегда ли верна обратная теорема? Сформулируйте утверждение, обратное лемме о медиане прямоугольного треугольника (см. Пример 5 ). Верно ли оно? Обоснуйте ответ.

9(3). а) Что называется геометрическим местом точек на плоскости? б) Дана окружность с центром в точке О. Каково геометрическое ме-

сто середины хорд этой окружности, проходящих через точку А окружности.

Задачи

1(4). Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы углов A и D пересекают сторону BC в двух точках, расстояние между которыми равно 2. Найти длину стороны BC , если AB 5.

2(5). В равнобедренном треугольнике медиана к боковой стороне разбивает его на два треугольника так, что периметр одного на 6 больше периметра другого. Найти стороны данного треугольника, если известно, что его периметр равен 33.

3(6). Сторона AC в треугольнике ABC равна 10 и BC 2 AB. Найти длину медианы BM , если известно, что расстояние от точки A до прямой BM равно 4.

4(6). В треугольнике ABC сторона AB 1, высота CD равна вестно, что AD BC. Найти стороны BC и AC.

5(6). Прямая l касается в точке D окружности с центром в точке O и параллельна ее диаметру AB. На прямой l взята точка C такая, что CD AO и окружность пересекает отрезок BC в его середине. Найти величину угла ABC.

2012, ЗФТШ МФТИ, Пиголкина Татьяна Сергеевна

23

2012-2013 уч. год, №2, 8 кл. Математика. Геометрия

6*(6). В треугольнике ABC проведена биссектриса BK. Известно, что

A 40 , C 20 и BK 2. Найти AC BC.

Задачи на построение с циркулем и линейкой

7(5). Даны отрезок m и острый угол . Построить прямоугольный треугольник с острым углом и суммой катетов m (метод спрямления).

8(5). Даны два отрезка a, m и угол . Построить треугольник со стороной a, противолежащим углом и разностью двух других сторон, равной

m(метод спрямления).

9.(6). Даны три отрезка m, h и a. Построить треугольник ABC, в кото-

ром высота BH равна h, медиана BM равна m и сторона BC равна a. 10*(6). Дан угол и точка М внутри угла (точка М не лежит на биссек-

трисе угла).

а) Провести через точку М прямую так, что еѐ отрезок, заключѐнный между сторонами угла, делился в точке М пополам.

б) Провести через точку М прямую так, что она отсекает на сторонах угла равные отрезки.

2012, ЗФТШ МФТИ, Пиголкина Татьяна Сергеевна

24