3. Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных.

Рассмотрим скорость изменения функции трех переменных при перемещении из точки в направлении единичного вектора, определяемого своими координатами – направляющими косинусами:. Для этого рассмотрим прямую, проходящую через точкус направляющим вектором. Ее параметрические уравнения имеют вид

(1)

Заметим, что поскольку вектор единичный, то измерение параметрана величинуозначает перемещение вдоль этой прямой на отрезок длиныи, что приточка на прямой соответствует.

Определение.Производной функциив точкепо направлению вектораназывается производная ограничения этой функции на прямуюпопри (рис.).

Обозначается эта производная .

Получим формулу для вычисления производной по направлению вектора. Для этого подставимиз (1) в, получим

, поэтому

. (2)

Определение.Вектор с координатами – частными производными функцииназывается градиентом функции, он обозначается так:

.

Из (2) получим другую формулу, выражающую через градиент:

(3)

Для произвольного вектора , учитывая, что,

. (4)

Если требуется вычислить в некоторой точке, тов (3) и (4) необходимо также вычислять в этой точке.

Пример.Найти скорость изменения температуры тела, заданной функциейв точкев направлении вектора. Для этого найдем частные производные и градиент поля:

;;;

;

.

Далее, , поэтому из (2) имеем

.

Из вида уравнения касательной плоскости и формулы вектора-градиента можно сделать вывод, что градиент является нормальным вектором к этой плоскости.

Пример из экономики. Вектор, составленный из частных производных функции полезностиназывается вектором предельных полезностей или градиентом. Он показывает направление наибольшего роста значений функции. Немецкий экономист К.Госсен сформулировал основополагающее свойство функции полезности: с увеличением потребления товара его полезность уменьшается. То есть если вы голодны, то первый гамбургер съедите с большой охотой, второй уже не с таким аппетитом, и т.д. На математическом языке это означает, что предельные полезности убывают с возрастанием аргументов - количества потребляемых товаров, т.е. вторые частные производные должны быть отрицательные.

4. Производная высших порядков

Определение.Частной производной–го порядка функцииназывается частная производная от одной из ее производныхпорядка.

Это рекуррентное определение дает возможность получить –ую частную производную функцию путем нахождения последовательночастных производных от этой функция. Сама функциясчитается производной нулевого порядка.

Как мы установили ранее, производных первого порядка у функции двеи. Взяв от этих производных производные пои, получим четыре производных второго порядка:

,,,.

Взяв от этих производных производные по и, получим восемь частных производных третьего порядка и так далее. Производных–го порядка у функции двух переменных имеется.

Пример.Найдем все частные производные первого и второго порядков у функции

.

,,,

,,.

В этом примере и это не случайно.

Определение. Частная производная функции, в которой присутствуют дифференцирования по разным переменным, называется смешанной производной.

Смешанными производными второго порядка у функции двух переменных являются и.

Теорема о смешанных производных.

Пусть функция и ее производные,,,непрерывны в некоторой окрестности точки. Тогда в этой точке ее смешанные производные второго порядка равны между собой:

.

Следствие.Пусть все частные производные функции

до –го порядка включительно и все ее смешанные производные–го порядка непрерывны в некоторой окрестности т.. Тогда в этой точке ее смешанные производные–го порядка отличающиеся только очередностью дифференцирования совпадают.

Без доказательства.

Это следствие обосновывает следующее обозначение смешанной производной –го порядка, в которой встречаетсядифференцирований поипо:

.

При выполнении условий следствия, порядок в котором производятся эти дифференцирования, не влияет на результат.

Пример.Пусть. Найдем.

.

При любом другом порядке дифференцирования, в котором будут по два дифференцирования по и порезультат получится тем же.

Определение. Функция, имеющая все непрерывные частные производные до–го порядка включительно в окрестности точки, называетсяраз дифференцируемой в этой точке.