
- •Лекция 2 Производная по направлению градиент. Производные и дифференциалы высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных и задачи оптимизации в экономике Вопросы.
- •Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •2. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
- •3. Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных.
- •4. Производная высших порядков
- •5. Экстремум функции нескольких переменных
- •Пусть функция трижды дифференцируема в некоторой окрестности своей критической точки.
- •Литература
Лекция 2 Производная по направлению градиент. Производные и дифференциалы высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных и задачи оптимизации в экономике Вопросы.
Дифференцируемость функции нескольких переменных.
Геометрический смысл дифференциала 1-ого порядка.
Уравнение касательной плоскости и нормали.
Производная по направлению, определение.
Что такое градиент функции
в заданной точке?
Производные и дифференциалы высших порядков.
Необходимое условие локального экстремума.
Сформулируйте достаточное условие локального максимума в точке
функции
.
Задачи оптимизации в экономике.
Дифференцируемость функции нескольких переменных
При полном приращении функции, в отличие от частных приращений могут изменяться все переменные функции нескольких переменных.
Определение.Полным приращением
функциив точке
,
соответствующим приращениям
и
аргументов, называется разность
.
Пример.Пусть,
,
,
(см. пример из предыдущего пункта). Найдем
полное приращение функции в точке
:
Это
приращение равно приращению площади
прямоугольника со сторонами 3 и 4 при их
увеличении на величины, равные 0,1. На
рис.4 полное приращение
состоит из площадей двух заштрихованных
прямоугольников и площади квадрата со
стороной 0,1.
Определение.Если полное приращение
функциив точке
можно записать в виде:
,
где
и
– постоянные, а
и
бесконечно малые при
,
то выражение
называется полным дифференциалом
функции в точке
.
Полный дифференциал называют также главной частью приращения функции.
Функция, имеющая полный дифференциал в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Теорема 1. Пусть функцияи ее частные производные
и
непрерывны в некоторой окрестности
точки
.
Тогда функция
дифференцируема в т.
и ее полный дифференциал равен сумме
частных дифференциалов:
.
(3)
Пример.Найдем полный дифференциал
функции.
Найдем вначале частные производные этой функции:
;
.
Подставив их в формулу (2), получим:
+
.
Если в формуле (1) отбросить бесконечно
малые
и
и заменить полное приращение приближенно
полным дифференциалом, то получим
следующую формулу для приближенного
нахождения значений функции с помощью
полного дифференциала.
+
+
.
(4)
Пример.Вычислим приближенно число
Для этого мы вычислим приближенное
значение функции
в точке
,
где
,
,
,
.
=
:
=
,
,
;
.
Подставив эти значения в (4), получим:
.
2. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
Определение 1. Касательной плоскостью
к поверхности в её точке
(точка касания) называется плоскость,
содержащая в себе все касательные к
кривым, проведенным на поверхности
через эту точку.
Определение 2. Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Пусть функция
имеет в окрестности некоторой точки
непрерывные производные
Теорема.Через любую точку
функции
можно провести касательную плоскость
к ее поверхности.
А) для функции в явном виде
:
Б) для функции в неявном виде
=0:
.
(2)
Для функции двух переменных
перпендикулярен касательной к линии
уровня этого поля и уравнение этой
касательной по аналогия с (2) можно
записать в виде
.
(3)
Тогда уравнение нормали будет:
А) для функции в неявном виде:
(4)
Б) для функции в явном виде:
(5)