5. Однородное дифференциальное уравнение

Определение 2.Функцияназывается однородной порядкаотносительнои, если для любого:.

Если и- однородные функции одного порядка, то (10) однородное уравнение. Уравнениебудет однородным, если, т.е..

Однородные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой:

или.

Пример 4.Решить уравнение.

Приведем к виду (10).

Так как и- однородные функции порядка 2, то уравнение однородное. Делаем подстановку.

- уравнение С разделяющимися переменными. Делим обе части на. Получим

.

Случай иравносилен. Получается при С=0.

З а м е ч а н и е 3. Уравнения вида

Приводятся к однородным.

6. Линейные уравнения

Определение 3.Дифференциальное уравнение, содержащее искомую функцию и ее производные только в первой степени, называется линейным.

Линейные уравнения 1-го порядка

(3)

, (4)

Называются: (3) – неоднородное, (4) – однородное.

Найдем общее решение однородного уравнения

(5)

Методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной) найдем решение уравнения (3). Решение ищем в виде (5), где - неизвестная функция (варьируем). Подставляя в (3) вместо.

а вместо - (5), получим

Подставляя в (5), получим общее решение (3).

(6).

З а м е ч а н и е 4. Так как - общее решение (4), а- частное решение (при) уравнения (3), то можно сделать вывод П части щимися перменными. Делимавнениям с разделяющимимся переменными подстановкой?00000000000000000000000000000000000000000, верный для линейных уравнений любого порядка: общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решение линейного неоднородного уравнения и частного решения неоднородного.

Пример 5.Решить уравнение.

Уравнение не является линейным относительно . Если положим- функция от, затем полагая, получим

Это уравнение относительно линейное,.

Из (6)

.

Пример из экономики. Уравнение Самуэльсона. Паутинная модель рынка

Рассмотрим уравнение Самуэльсона

моделирующее связь между изменением цены и неудовлетворенным спросомгде- соответственно величины спроса и предложения при цене. Предположим, что спрос и предложение задаются линейными функциями

,

где - некоторые положительные числа.

С учетом этого, ДУ примет вид:

.

Это уравнение является линейным неоднородным ДУ и решается по формуле (6), применив которую получим общее:

.

Эта зависимость показывает, что при с течением времени функциябудет отделяться от состояния равновесия. Если же, то- постоянна, а если, то с течением временибудет асимптотически приближаться к состоянию равновесия. Данную модель рассматривают как непрерывный аналог паутинной модели рынка.

7. Уравнение Бернулли

Определение 1.Дифференциальное уравнение вида:

, где,,

называется уравнением Бернулли.

Решение этого уравнения сводится к линейному заменой

Пример 6.Привести уравнение Бернуллик линейному.

.

8. Уравнение в полных дифференциалах

Определение 2. Если существует функция, полный дифференциал которой в некоторой области равен левой части (10), то (10) – уравнение в полных дифференциалах.

Таким образом

(17)

Теорема.Пустьнепрерывны и дифференцируемы, причеми- непрерывны в некоторой области. Для того, чтобы уравнение (10) являлось уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы

(18)

причем общий интеграл записывается.

,

Где любая точка, в окрестности которой существует решение (10).

Пример 7. Проинтегрировать ДУ вида

Решение.Так каки, то уравнение в полных дифференциалах. Пусть. Тогда