3. Теорема Коши

Дифференциальные уравнения го порядка записывается:

в явном виде

, (3)

в неявном виде

Задача Коши.Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальным данным: при

,, … ,(4)

Теорема Коши.Если в некоторой замкнутой областинепрерывна по всем аргументам и имеет в этой области ограниченные частные производные, то уравнение (3) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным данным (4), гдепринадлежит этой области.

1.3 Общее и частные решения

Функция

(5)

Где - произвольные постоянные, называется общим решение уравнения (3), если:

а) она является решением уравнения (3) при любом конкретном наборе ,

б) при любых начальных данных в области, где выполняются условия теоремы Коши, можно подобрать конкретный набор так, что

(6)

Удовлетворяет начальным данным.

Решение(6) называется частным решением. Геометрически (5) – семейство кривых (интегральные кривые). Выполнение условий теоремы Коши означает, что через т.проходит только одна интегральная кривая, удовлетворяющая условиям (4). Общее (частное) решение уравнения (3) заданное в неявном виде

называется общим (частным) интегралом.

Кроме общего и частного решения уравнение (3) может иметь особые решения: решения уравнения (№), не получающееся из общего ни при каком конкретном наборе.

Пример 3.Рассмотрим уравнение

(7)

Непосредственной подстановкой можно проверить, что

(8)

общий интеграл уравнения (7). Так как

,

то на прямых - неограниченна, т.е. нарушено условие теоремы Коши. Очевидно, чтоне является решением (7), а прямые- решения (7), не получающиеся из (8) ни при каком конкретном значении. Геометрически это означает, что через любую точку прямыхпроходят две интегральные кривые: например через т.проходят интегральные кривыеи. Следовательноособые решения.

Как видно из примера 2 при решении уравнения, мы находим первообразные. Поэтому процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения.

Выводы:

1) дифференциальное уравнение (ДУ) имеет бесчисленно много решений;

2) общее решение ДУ зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку ДУ;

3) частные решения ДУ получаются из общего путем придания конкретных значений этим постоянным.

4. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Уравнение, разрешенное относительно , имеет вид

(9)

Более общее представление уравнения 1-го порядка

(10)

З а м е ч а н и е 2. Геометрически уравнение (9) в каждой т. задает значение углового коэффициента касательной к интегральной кривой, т.е. поле направлений.

Иногда интегрирование уравнения упрощается, если считать функцией от. Поэтому в дальнейшем считаем переменныеиравноправными.

5. Уравнения с разделяющимися переменными. Математические модели экономического роста

Определение 1. Уравнение, вида

, (1)

коэффициенты которого при и- произведение функции только отна функцию только от, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Считая, что ,, делим обе части (11) на

З а м е ч а н и е 1. Случай ,исследуется дополнительно.

Пример 1.Решить уравнение

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим на, считая , что.

- (2)

общий интеграл. Рассмотрим теперь и.

Получим решения уравнения (легко проверить непосредственной подстановкой в уравнение) и. Но эти же решения получаются из (12) при. Следовательно ответ:.

З а м е ч а н и е 2. Частный случай уравнения (1).

Пример 2.Найти функцию, имеющую постоянную эластичность, равную к.

Решение. По определению эластичность функции равна, тогда по условию задачи получим:дифференциальное уравнение с разделяющимися производными:

.

Интегрируя обе части полученного равенства, находим:

Откуда следует, что .

Пример из экономики. Построить модель естественного роста ( рост при постоянном темпе).

Решение: обозначим- интенсивность выхода продукции некоторого предприятия (отрасли). Мы будем предполагать, что имеет место аксиома о ненасыщенности потребителя, т.е. что весь выпущенный товар будет продан, а также то, что объем продаж не является столь высоким, чтобы существенно повлиять на цену товара, которую будем считать фиксированной. Чтобы увеличить интенсивность выпуска, необходимо, чтобы чистые инвестиции(т.е. разность между общим объемом инвестиции и амортизированными затратами) были больше нуля. В случаеобщие инвестиции только лишь покрывают затраты на амортизацию, и уровень выпуска продукции остается неизменным. Случайприводит к уменьшению основных фондов и, как следствие, к уменьшению уровня выпуска продукции. Таким образом, скорость увеличении интенсивности выпуска продукции является возрастающей функцией от.

Пусть эта зависимость выражается прямой пропорциональностью, т.е. имеет место так называемый принцип акселерации

,

где - норма акселерации. Пусть- норма чистых инвестиций, т.е. часть дохода, которая тратится на чистые инвестиции, тогда. Обозначая, окончательно получим ДУ:

.

Интегрируя данное ДУ с разделяющимися переменными, найдем общее его решение:

.

При начальном условии , найдем частное решение.

Это решение называется уравнением естественного роста. Оно описывает динамику роста цен при постоянном темпе инфляции.