Л-я вышмат 6-7

Лекция 6-7

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Вопросы

1.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 2.Метод Эйлера. Характеристическое уравнение.

3. Составление частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами методом подбора.

Определение1. Если в линейном дифференциальном уравнении, вида:

(1)

все - постоянные, то оно называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

1. Однородные уравнения

Найдем фундаментальную систему уравнения, правая часть которого равна нулю. Обозначим его - (2). Частное решение ищем в виде , где - постоянная. Подставляя в (2) , получим

.

Так как то будет решением уравнения (2), если будет корнем характеристического уравнения

Рассмотрим вопрос отыскания фундаментальной системы для .

(3)

Характеристическое уравнение имеет вид

(4)

Возможны следующие случаи:

1) . Тогда - действительные корни (4). Частные решения и образуют фундаментальную систему так как

так как

Общее решение уравнения (3)

2) . Корни комплексные, сопряжённые: . Частные решения: .

Из и . Следовательно фундаментальная система а общее решение .

3) . Тогда . Получим только одно решение . Найдем 2-е решение, независимое от . Решение ищем в виде .

Фундаментальная система: , . Общее решение

Следовательно, для решения уравнения (2) необходимо:

1) Составить и решить характеристическое уравнение.

2) Найти фундаментальную систему решений:

а) Каждому однократному действительному корню соответствует частное решение .

Б) Каждой паре однократных комплексных корней соответствуют два частных решения:

в) Каждому - кратному действительному корню соответствует частных решений:

.

Г) Каждой паре -кратных корней соответствуют решений:

Количество частных решений ровно и они образуют фундаментальную систему.

Записать общее решение .

Пример 1. Найти общее решение уравнений.

А) .

1. Составим и решим характеристическое уравнение

.

2.Найдем фундаментальную систему .

- двукратный корень:

.

3. Общее решение

б)

1. - двукратный корень.

2. .

3. .

2. Неоднородные уравнения

Для уравнения с постоянными коэффициентами и специальными правыми частями частные решения можно найти проще, не применяя метод вариации.

Пусть и - многочлены -ой и -ой степени, а - кратность корня характеристического уравнения, причем, если не является корнем, то .

Если

1. , то частное решение ищут в виде где - много-член с неопределенными коэффициентами.

2. , то , где , а и - многочлены с неопределенными коэффициентами.

Пример 3. Найти общее решение уравнений

а) (8)

1. Найдем общее решение однородного уравнения .

2. 

3. Найдем частное решение уравнения (8): - однократный корень где и надо подобрать так, чтобы был решением (8).

.

Подставляя , , в (8) и приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней , получим

.

Частное решение , а общее - .

б) .

1. 

- общее решение однородного уравнения.

2. не корнем

. Подставляя , , в уравнение, получим.

.

Общее решение

.

Пример из экономики. Модель Самуэльсона – Хикса.

Решение уравнений, вида

,

где - члены некоторой числовой последовательности, - постоянные числа, - некоторая функция натурального числа, называется линейным разностным уравнением -ого порядка.

Методы решения данного уравнения, широко используемого в экономике, аналогичны решению ЛДУ с постоянными коэффициентами.

Продемонстрируем это для разностных уравнений 2-ого порядка, вида:

.

Так же как и для ЛДУ, общее решение данного уравнения определяется по формуле:

,

где - некоторое частное решение данного уравнения, а - общее решение соответствующего однородного уравнения. Для нахождения последнего решения необходимо найти корни характеристического уравнения .

Могут возникнуть три варианта.

1. Оба корня действительные и различные, тогда .

2. Оба корня действительные и равные , тогда .

3. Корни комплексно-сопряженные, тригонометрическая форма, вида , тогда .

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. Методом неопределенных коэффициентов найдем частное решение в виде: . Подставляя это выражение в уравнение, получим

.

Следовательно, и .

Решая характеристическое уравнение: находим . Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

.

Рассмотрим уравнение Хикса:

.

Частное решение данного уравнения найдем из условия

,

Это так называемое равновесное решение. Подставляя его в данное уравнение, получаем , откуда получаем . Заметим, что множитель называется мультипликатором Кейнса и является одномерным аналогом матрицы полных затрат.

В этих терминах рассмотрим модель Самуэльсона – Хикса при условии: В этом случае уравнение примет вид:

Его частным решением будет функция найдем корни характеристического уравнения Имеем

Таким образом, общим решением искомого уравнения будет

В зависимости от возможны четыре типа динамики. Она может быть растущей или затухающей и при этом иметь или не иметь колебательный характер.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. М.: Наука, 1985г.

2. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа 1983г.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1,2 М.: Наука, 1985г.

4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике ч.1-3 Под редакцией Рябушко А.П. Минск.: Вышейшая школа, 2001 г.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1,2 М.: Высшая школа,1986 г.

6. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). М.: Высшая школа, 1983 г.