gol_met_1-6
.pdfной из ошибок минимизировать значение другой. Здесь центр проблемы переносится на обоснованный выбор допустимого уровня ошибок с помощью предыдущего опыта или интуитивных соображений.
По методу Неймана–Пирсона минимизируется вероятность пропуска цели при заданном допустимом уровне вероятности ложной тревоги. Таким образом, вероятность ложной тревоги
∞ |
|
P1 ∫ f (x / D1)dx ≤ A, |
(1) |
x0
где А – заданный допустимый уровень вероятности ложной тревоги; P1
– вероятность исправного состояния.
Отметим, что обычно условие (1) относят к условной вероятности ложной тревоги (множитель P1 отсутствует). В задачах технической диагностики значения P1 и P2 в большинстве случаев известны по статистическим данным.
Из рис. 1 видно, что при увеличении ошибки ложной тревоги (сечение x0 перемещается влево) величина ошибки пропуска дефекта уменьшается. Ее наименьшее значение будет соответствовать знаку равенства в условии (1)
∞ |
|
P1 ∫ f (x / D1)dx = A. |
(2) |
x0
Теперь условие (1) однозначно определяет величину x0 и значение риска.
Остановимся на выборе значения А — допустимого уровня ложной тревоги (риска поставщика).
П р и м е р При эксплуатации было установлено, что у 2–3% двигателей встре-
чаются поломки в результате повышенных динамических нагрузок при увеличенном фланке шестерни редуктора. В дефектных редукторах наблюдается повышенная виброперегрузка при частоте, соответствующей частоте зацепления. Было проведено измерение вибраций всего парка двигателей и назначена норма, при повышении которой двигатель направляется на разборку и дефектацию. При выборе нормы исходили из двух соображений: число снимаемых с эксплуатации двигателей должно существенно превышать ожидаемое число дефектных двигателей; принимаемое значение ложной тревоги не должно нарушать нормаль-
31
ную эксплуатацию или приводить к чрезмерным экономическим потерям. Этим условиям удовлетворяла норма, приводящая к снятию с эксплуатации примерно 10% двигателей.
В практических задачах можно принимать
A = kP2, |
(3) |
где k – коэффициент избыточности, зависящий от разрешающей способности диагностических средств, опасности дефекта, экономических затрат и других обстоятельств.
При дефектах с ограниченными последствиями можно принимать
k = 3 – 1 |
(3.1) |
При опасных дефектах – k = 3 – 10. Для редко встречающихся (P2 < 0,01), но крайне опасных дефектов, коэффициент избыточности может достигать и больших значений.
В задачах технической диагностики можно использовать и другой подход: определять граничное значение x0, исходя из выбранной вероятности пропуска дефекта. В этом случае
x |
|
|
P2 ∫0 |
f (x / D2 )dx = B, |
(4) |
−∞
где B – заданное значение вероятности пропуска дефекта.
Трудно указать общие правила для назначения величины B, она должна выбираться с учетом указанных ранее соображений. Если дефект крайне нежелателен даже на единичном изделии, можно принимать
B ≤ |
1 |
, |
(5) |
|
|||
|
kN |
|
|
где N – общее число изделий, находящихся в эксплуатации; k – коэффициент избыточности (1 ≤ k <10) . Во всех случаях для реализации принципа невозможности маловероятных событий величина B должна быть малой (B < 0,01). В методе Неймана–Пирсона граничное значение x0 находится из уравнения (2) или (4).
При практическом решении подобных уравнений целесообразно использовать метод Ньютона, полагая, например
∞ |
|
j(x0 ) = P1 ∫ f (x0 / D1)dx − A; j'(x0 ) = −P1 f (x0 / D1). |
(6) |
x0 |
|
32
П р и м е р Диагностика состояния трансмиссии газотурбинного двигателя осу-
ществляется по содержанию железа в масле. Для исправного состояния среднее значение составляет x1 = 5 (5 г железа на 1 т масла) и среднеквадратичное отклонение σ1 = 2. При наличии дефекта подшипников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны x2 = 12, σ2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными.
Требуется определить предельное содержание железа в масле, выше которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во избежание опасных последствий). По статистическим данным, неисправное состояние трансмиссий наблюдается у 10% двигателей. Проведем решение различными методами.
По методу Неймана–Пирсона принимаем A = kP2. Считая последствия дефекта ограниченными (для контроля состояния трансмиссии используются также показания вибродатчиков), принимаем k = 1, что
дает A = 0,1. Полагая первое приближение x0(1) = (x1 + x2 ) / 2 =8,5 , находим второе приближение
x0(2) = x0(1) + P1[1 − F(x0(1) / D1)] − A.
P1 f (x0(1) / D1)
Расчеты дают следующие значения приближений: x0(2) = 6,85; x0(3) = 7,36; x0(4) = 7,43; x0(5) = 7,43.
Практическая часть
1.Изучить методические указания и получить задание.
2.Рассчитать предельное значение диагностического параметра, выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации по методу Неймана–Пирсона.
3.Оформить отчет о практической работе.
4.Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем.
Отчет должен содержать:
1. Цель работы.
2. Задание.
3. Основные формулы и положения.
4. Расчет указанного предельного значения диагностического параметра (численный).
5. Выводы по работе.
33
ЗАДАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ № 2, 3, 4, 5, 6
З а д а ч а № 1
Диагностика газотурбинного двигателя осуществляется по содержанию железа в масле. Установлено, что для исправного состояния сред-
нее значение содержания железа составляет x1 = 10 (10 г на 1 т) и среднеквадратическое отклонение σ1 = 3. При наличии дефекта подшипников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны x2 = 20 , σ2 = 5, Распределения предполагаются нормальными. Определить предельное содержание железа в масле, выше которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации.
Определить предельное содержание железа разными методами:
1.Методом минимального риска.
2.Методом минимального числа ошибочных решений.
3.Методом минимакса.
4.Методом Неймана–Пирсона.
5.Методом наибольшего правдоподобия.
Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска цели и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сделать выводы.
Дополнительная информация
а) C |
=C |
=0; |
|
C12 |
=30; |
P =0,05; |
|||||||
|
|
||||||||||||
11 |
|
22 |
|
|
C21 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
C12 |
|
= 20; |
|
C11 |
= |
C22 |
= −0,5; P = 0,1; |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
C21 |
|
|
|
C21 |
|
C21 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) C |
|
=C |
22 |
=0; |
|
C12 |
|
=1; |
P =0,05. |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
11 |
|
|
|
|
C21 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
З а д а ч а № 2
Диагностика бортового преобразователя напряжения осуществляется по общему уровню вибрации его корпуса. Установлено, что для исправ-
ного состояния среднее значение вибрации составляет x1 = 20 мм/с и среднеквадратическое отклонение σ1 = 7 мм/с. При наличии дефекта,
34
где x2 = 45 мм/с, σ2 = 12 мм/с, распределения предполагаются нормальными. Определить предельное значение общего уровня вибрации разными методами:
1.Методом минимального риска.
2.Методом минимального числа ошибочных решений.
3.Методом минимакса.
4.Методом Неймана–Пирсона.
5.Методом наибольшего правдоподобия.
Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска цели и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сделать выводы.
Дополнительная информация
а) |
C11 =C22 |
=0; |
|
C12 |
|
=10; |
P2 = 0,1; |
||||||||
C21 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
C12 |
= 20; |
|
C11 |
= |
|
C22 |
|
= −1; |
P =0, 2; |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
C21 |
|
|
|
C21 |
|
|
C21 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
C |
|
=C |
=0; |
|
|
C12 |
=1; |
P =0,1. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
11 |
22 |
|
|
|
|
|
C21 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
З а д а ч а № 3
Диагностика гиромотора осуществляется по температуре подшипниковых узлов. Установлено, что для исправного состояния среднее зна-
чение t0 подшипникового узла составляет x1 =50 C и среднеквадратическое отклонение σ1 =15 С . При наличии повышенного износа, где x2 =100 C , σ2 = 25 C , распределения предполагаются нормальными.
Определить предельное значение t разными методами:
1.Методом минимального риска.
2.Методом минимального числа ошибочных решений.
3.Методом минимакса.
4.Методом Неймана–Пирсона.
5.Методом наибольшего правдоподобия.
35
Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска цели и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сделать выводы.
Дополнительная информация
|
а) C |
=C |
22 |
=0; |
|
C12 |
= 40; |
P = 0,1; |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
C21 |
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) |
C12 |
|
=30; |
|
C11 |
= |
C22 |
= −1; |
P2 = 0, 2; |
|||||||
C21 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C21 |
|
C21 |
|
|||||||
в) |
C12 |
|
= 20; |
C11 |
= −0,5; |
|
C22 |
= −1; P = 0,15. |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
C21 |
|
|
|
C21 |
|
|
|
|
|
|
C21 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
З а д а ч а № 4
Диагностика газотурбинного двигателя осуществляется по температуре за турбиной. Для исправного состояния характерна следующая средняя
температура и среднеквадратическое отклонение: x1 = 450 C, σ1 = 70 C . При неисправном состоянии, где x2 = 600 C, s2 = 50 C , распределения предполагаются нормальными. Определить граничное значение t за турбиной двигателя разными методами:
1.Методом минимального риска.
2.Методом минимального числа ошибочных решений.
3.Методом минимакса.
4.Методом Неймана–Пирсона.
5.Методом наибольшего правдоподобия.
Рассчитать также для всех методов вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска цели, и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сделать выводы.
Дополнительная информация
а) C =C |
22 |
=0; |
C12 |
=100; P |
= 0,05; |
|
|||||
11 |
|
2 |
|||
|
|
|
C21 |
|
|
36
б) |
|
C12 |
=50; |
|
C11 |
= |
C22 |
= −2; |
P2 =0,1; |
||||
|
C21 |
C21 |
C21 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
C12 |
|
= 20; |
C11 |
= |
C22 |
|
= −1; |
P2 =0,07. |
||||
C21 |
|
C21 |
|||||||||||
|
|
C21 |
|
|
|
||||||||
З а д а ч а № 5
Диагностика технического состояния шлифовального круга станка производится по амплитуде вибрации на частоте вращения. В случае исправного состояния среднее значение вибрации на частоте вращения и среднеквадратическое отклонение составляют x1 = 1000 мм/с2, σ1 = 200 мм/с2. При шлифовании круг изнашивается неравномерно. Появляется повышенная вибрация, которая влияет на качество изготавливаемых деталей. Для
неисправного состояния характерны x1 = 1500 мм/с2, σ1 = мм/с2, распределения предполагаются нормальными. Определить граничное значение вибрации (при превышении которого шлифовальный круг необходимо балансировать) разными методами:
1.Методом минимального риска.
2.Методом минимального числа ошибочных решений.
3.Методом минимакса.
4.Методом Неймана–Пирсона.
5.Методом наибольшего правдоподобия.
Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска цели, и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сделать выводы.
Дополнительная информация
а) |
C |
|
=C |
22 |
=0; |
|
C12 |
=1; |
P = 0,1; |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
C21 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
|
C |
=C |
22 |
=0; |
|
C12 |
|
= 20; |
P = 0,1; |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
C21 |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
C12 |
|
=10; |
|
|
C11 |
= |
C22 |
|
= −1; |
P = 0,1. |
|||||
|
C |
|
|
|
|
|
||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
C |
|
C |
|
|
2 |
|||||
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
21 |
|
|
|
||
37
Библиографический список
1.Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 240 с.
2.Диагностирование и прогнозирование технического состояния авиационного оборудования: Учеб. пособие для вузов / В. Г. Воробьев, В. В. Глухов, Ю. В. Козлов и др.; Под ред. И. М. Синдеева. СПб.: Транспорт, 1994. 191 с.
3.Дмитриев А. К. Основы контроля и технической диагностики: Учеб. пособие. М.: МО. 1988. 206 с.
4.Технические средства диагностирования: Справочник / В. В. Клюев,
П.П. Пархоменко и др.; Под общ. ред. В. В. Клюева. М.: Машиностроение, 1989. 672 с.
Оглавление |
|
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1 .......................................................... |
3 |
Метод Байеса .................................................................................... |
3 |
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2 .......................................................... |
15 |
Метод минимального риска ............................................................ |
15 |
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3 .......................................................... |
20 |
Метод минимального числа ошибочных решений ....................... |
20 |
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4 .......................................................... |
23 |
Метод наибольшего решения.......................................................... |
23 |
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5 .......................................................... |
25 |
Метод минимакса ............................................................................. |
25 |
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6 .......................................................... |
30 |
Метод Неймана–Пирсона ............................................................... |
30 |
Задания к практическим работам № 2, 3, 4, 5, 6 ................................ |
34 |
Библиографический список ..................................................................... |
38 |
38