gol_met_1-6

2.Задание.

3.Основные формулы и положения.

4.Расчет указанной вероятности (численный).

5.Выводы по работе.

ЗАДАНИЯ ПО РАБОТЕ

Из 1000 обследованных подшипников передней подвески автомобилей 900 подшипников выработали ресурс в исправном состоянии и 100 – в неисправном.

Все подшипники были обследованы по следующим признакам:

–общий уровень вибрации;

–температура;

–загрязнение смазки.

У70% исправных подшипников общий уровень вибрации лежал в диапазоне от 0,25 до 0,5 g, у 20% исправных подшипников – от 0,5 до 0,75 g и у 10% – >0,75g.

У80% исправных подшипников температура лежала в диапазоне 50–70 град, у 10% – в диапазоне 70–90 град. И у 10% – >90 град.

У90% исправных подшипников загрязнение смазки было в пределах нормы.

У80% неисправных подшипников наблюдалась вибрация >0,75 g, у

15% неисправных подшипников вибрация в диапазоне 0,5–0,75g.

У85% неисправных подшипников температура была >90 град, у 8% неисправных подшипников – в диапазоне 70–90 град.

У70% неисправных подшипников загрязнение смазки было выше нормы.

Рассчитать:

1.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,25–0,5g, температуры – 50–70 град, загрязнения смазки в пределах нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура 50–70 град, загрязнение смазки в пределах нормы.

2.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,5–0,75g, температуры – 50–70 град, загрязнения смазки в пределах нормы.

11

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5–0,75g, температура – 50–70 град, загрязнение смазки в пределах нормы.

3.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне >0,75g, температуры – 50–70 град, загрязнения смазки в пределах нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация >0,75g , температура – 50–70 град, загрязнение смазки в пределах нормы.

4.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,25–0,5g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки в пределах нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура – 70–90 град, загрязнение смазки в пределах нормы.

5.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,5–0,75g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки в пределах нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5–0,75g, температура – 70–90 град, загрязнение смазки в пределах нормы.

6.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне >0,75g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки в пределах нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация – >0,75g, температура – 70–90 град, загрязнение смазки в пределах нормы.

12

7.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,25–0,5g, температуры – >90 град, загрязнения смазки в пределах нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура – >90 град, загрязнение смазки в пределах нормы.

8.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,5–0,75g, температуры – >90 град, загрязнения смазки в пределах нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5–0,75g, температура – >90 град., загрязнение смазки в пределах нормы.

9.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне >0,75g, температуры – >90 град, загрязнения смазки

впределах нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация >0,75g, температура – >90 град., загрязнение смазки в пределах нормы.

10.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,25–0,5g, температуры – 50–70 град, загрязнения смазки в выше нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура – 50–70 град, загрязнение смазки выше нормы.

11.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,5–0,75g, температуры – 50–70 град, загрязнения смазки в выше нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было

13

исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5–0,75g, температура – 50–70 град, загрязнение смазки выше нормы.

12.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне >0,75g, температуры – 50–70 град., загрязнения смазки в выше нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация >0,75g, температура – 50–70 град, загрязнение смазки выше нормы.

13.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,25–0,5g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки в выше нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура – 70–90 град, загрязнение смазки выше нормы.

14.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,5–0,75g, температуры – 70–90 град., загрязнения смазки в выше нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5–0,75g, температура – 70–90 град, загрязнение смазки выше нормы.

15.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне – >0,75g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки в выше нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация – >0,75g, температура – 70–90 град, загрязнение смазки выше нормы.

16.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,25–0,5g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки выше нормы.

14

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура – >90 град, загрязнение смазки выше нормы.

17.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне 0,5–0,75g, температуры – 70–90 град, загрязнения смазки в выше нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5–0,75g, температура – >90 град, загрязнение смазки выше нормы

18.Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении вибрации в диапазоне – >0,75g, температуры – >90 град, загрязнения смазки выше нормы.

Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправного состояний, а также условные вероятности признаков, если в результате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25–0,5g, температура – 50–70 град, загрязнение смазки выше нормы.

Практическая работа № 2

МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО РИСКА

Цель работы: изучение метода минимального риска для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Вероятность принятия ошибочного решения слагается из вероятностей ложной тревоги и пропуска дефекта. Если приписать «цены» этим ошибкам, то получим выражение для среднего риска

Разумеется, цена ошибки имеет условное значение, но она должна учесть предполагаемые последствия ложной тревоги и пропуска дефекта.

15

В задачах надежности стоимость пропуска дефекта обычно существенно больше стоимости ложной тревоги (C12 >> C21). Иногда вводится цена правильных решений С11 и С22 , которая для сравнения со стоимостью потерь (ошибок) принимается отрицательной. В общем случае средний риск (ожидаемая величина потери) выражается равенством

Величина x, предъявляемая для распознавания, является случайной и потому равенства (1) и (2) представляют собой среднее значение (математическое ожидание) риска.

Рис. 1. Точки экстремума среднего риска ошибочных решений

Найдем граничное значение x0 из условия минимума среднего риска. Дифференцируя (2) по x0 и приравнивая производную нулю, получим сначала условие экстремума

Это условие часто определяет два значения x0, из которых одно соответствует минимуму, второе – максимуму риска (рис. 1). Соотношение (4) является необходимым, но недостаточным условием миниму-

16

ма. Для существования минимума R в точке x = x0 вторая производная

должна быть положительной d 2R > 0 , что приводит к следующему ус- dx02

ловию относительно производных плотностей распределений:

Если распределения f(x, D1) и f(x, D2) являются, как обычно, одномодальными (т. е. содержат не более одной точки максимума), то при

условие (5) выполняется. Действительно, в правой части равенства стоит положительная величина, а при x > x1 производная f '(x / D1) , тогда как

при x < x2 значение f '(x / D2 ) .

В дальнейшем под x0 будем понимать граничное значение диагностического параметра, обеспечивающее по правилу (5) минимум среднего риска. Будем также считать распределения f(x / D1) и f(x / D2) одномодальными («одногорбыми»).

Из условия (4) следует, что решение об отнесении объекта x к состоянию D1 или D2 можно связать с величиной отношения правдоподобия. Напомним, что отношение плотностей вероятностей распределения x при двух состояниях называется отношением правдоподобия.

По методу минимального риска принимается следующее решение о состоянии объекта, имеющего данное значение параметра x:

Эти условия вытекают из соотношений (5) и (4).

Условие (7) соответствует x < x0, условие (8) x > x0. Величина

λ = (C12 −C22 )P2 представляет собой пороговое значение для отноше-

(C21 −C11)P1

17

ния правдоподобия. Напомним, что диагноз D1 соответствует исправному состоянию, D2 – дефектному состоянию объекта; C21 – цена ложной тревоги; C12 – цена пропуска цели (первый индекс – принятое состояние, второй – действительное); C11 < 0,C22 – цены правильных решений (условные выигрыши). В большинстве практических задач условные выигрыши (поощрения) для правильных решений не вводятся и тогда

Часто оказывается удобным рассматривать не отношение правдоподобия, а логарифм этого отношения. Это не изменяет результата, так как логарифмическая функция возрастает монотонно вместе со своим аргументом. Расчет для нормального и некоторых других распределений при использовании логарифма отношения правдоподобия оказывается несколько проще.

Рассмотрим случай, когда параметр x имеет нормальное распределение при исправном D1 и неисправном D2 состояниях. Рассеяние параметра (величина среднеквадратичного отклонения) принимается одинаковым.

В рассматриваемом случае плотности распределений

Внося эти соотношения в равенство (4), получаем после логарифмирования

18

При x < x0, x D1; при x > x0 x D2. П р и м е р

Диагностика состояния трансмиссии газотурбинного двигателя осуществляется по содержанию железа в масле. Для исправного состоя-

ния среднее значение составляет x1 = 5 (5 г железа на 1 т масла) и среднеквадратичное отклонение σ1 = 2. При наличии дефекта подшипников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны

x2 = 12, σ2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными. Требуется определить предельное содержание железа в масле, выше

которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во избежание опасных последствий). По статистическим данным неисправное состояние трансмиссий наблюдается у 10% двигателей.

Примем, что отношение стоимостей пропуска цели и ложной трево-

ги C12 = 20 , и откажемся от «вознаграждения» правильных решений

C21

(C11 = C22 = 0). Из условия (4) получаем

Плотности распределения

Внося эти значения в предыдущее равенство, получаем после логарифмирования

Это уравнение имеет положительный корень x0 = 7,456.

Практическая часть

1. Изучить методические указания и получить задание.

19

2.Рассчитать предельное значение диагностического параметра, выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации по методу минимального риска.

3.Оформить отчет о практической работе.

4.Защитить отчет о практической работе при собеседовании с преподавателем.

Отчет должен содержать:

1.Цель работы.

2.Задание.

3.Основные формулы и положения.

4.Расчет указанного предельного значения диагностического параметра (численный).

5.Выводы по работе.

Практическая работа № 3

МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО ЧИСЛА ОШИБОЧНЫХ РЕШЕНИЙ

Цель работы: изучение метода минимального числа ошибочных решений для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Вероятность ошибочного решения определяется как

Из условия экстремума этой вероятности получаем

Условие минимума дает

20