зад. на пропорц

. Организация деятельности учащихся при обучении решению задач

с пропорциональными величинами.

Особую сложность для младших школьников представляют задачи с пропорциональными величинами. Причина в том, что понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального изучения и усвоения.

«Связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения простых задач на нахождение одной из величин по данным, соответствующим значениям двух других величин (например, задача на нахождение стоимости по известным цене и количеству)»1.

При решении простых задач с пропорциональными величинами используются те приемы, которые способствуют формированию у учащихся представлений о пропорциональной зависимости величин:

а) изменение одного из данных задачи;

б) сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных;

в) интерпретация задачи в виде схемы, запись задачи в таблице;

г) анализ текстов задач с недостающими и лишними данными.

Например, учащимся можно предложить задачи с недостающими данными, при анализе которых они, пользуясь житейскими представлениями, сами употребляют термин «зависит».

* Миша купил на 10000 р. кисточки и на 5000 р. карандаши. Чего Миша купил больше: карандашей или кисточек?

<« Маша купила 5 тетрадей в клетку и 2 блокнота. За что она заплати­ла денег больше, за тетради или за блокноты?

Анализируя тексты этих задач, учащиеся обнаруживают, что в них не хватает данных и что ответы на вопросы, поставленные в задачах, зависят от цены предметов. Учащиеся отвечают: «Это зависит от того, сколько стоит 1 блокнот, 1 тетрадь» и т. д. Для разъяснения учащимся математического смысла понятия «зависит» необходимо проследить, как изменяется одна величина в зависимости от изменения другой при постоянной третьей. Для этой цели можно воспользоваться приведенными задачами, дополнив их условие, или рассмотреть, например, простую задачу с недостающими данными:

•I» В палатку привезли 6 ящиков апельсинов. Сколько килограммов апельсинов привезли в палатку?

Ответить на вопрос задачи нельзя, так как неизвестна масса одного ящика. Выделенные величины полезно зафиксировать в таблице:

Дети дополняют условие и решают задачу. Затем надо проследить, как будет изменяться общая масса в зависимости от изменения массы одного ящика при постоянном их количестве или в зависимости от изменения количества ящиков при постоянной массе

одного ящика. Для этого также целесообразно использовать таблицу:

Рассматривая таблицу, стоит обсудить вопросы:

а) Какая величина не изменяется?

б) Какие величины изменяются?

в) Во сколько раз масса шести ящиков больше, чем масса двух ящиков? Почему?

г) Во сколько раз масса четырех ящиков меньше, чем масса двенадцати ящиков?

Аналогичные наблюдения следует провести при условии изменения количества ящиков, но при постоянной массе одного.

Затем полезно рассмотреть обратную ситуацию, предложив школьникам такую задачу:

•> 24 кг помидоров разложили в 2 ящика, в 4 ящика, в 6 ящиков, в 3 ящика, в 8 ящиков. Сколько килограммов помидоров в одном ящике?

При анализе данной таблицы выясняется: - Какая величина не изменяется? Какие величины изменяются? Как они изменяются?

Зависимость между количеством ящиков и массой одного ящика при постоянной общей массе можно смоделировать с помощью схемы. Для этого в тетради ученики изображают пять отрезков по 24 клетки, каждый из которых соответственно делится на 2, на 4, на 6, на 3, на 8 одинаковых частей.

Анализ схемы позволяет детям осознать зависимость между количеством ящиков и массой одного ящика при постоянной общей массе.

Использование названных методических приемов при решении простых задач подготовит учащихся к решению составных задач с пропорциональными величинами.

Для выделения в тексте задачи пропорциональных величин можно использовать таблицу, в которой верхняя часть может заменяться карточками с названиями различных величин. Например, длина одного куска проволоки, количество кусков, общая длина; скорость, время, расстояние; время чтения одной страницы, количество страниц, общее время; масса одного ящика, количество ящиков и т. д.

Если такие карточки заготовлены заранее, то учащиеся могут сами выбрать те из них, названия которых соответствуют величинам, рассматриваемым в задаче, и приготовить таблицу к работе, а затем самостоятельно заполнить её. (Конкретные величины, рассматриваемые в задаче, записываются на доске мелом.)

Покажем возможность варьирования постоянной величины в задачах, которые принято называть задачами на нахождение четвертого пропорционального.

•!• Из 24 м ситца сшили 8 наволочек. Сколько таких же наволочек можно сшить из 15 м ситца?

Работая с таблицей, некоторые учителя часто ориентируют детей на внешние признаки: в верхней строке две величины - находим третью. Теперь в нижней строке две величины - находим третью. Это не совсем верно. Особенно в том случае, когда учащиеся решают большое количество однотипных задач. Некоторые из них выполняют действия, «узнавая» расположение чисел в таблице, и не уделяют должного внимания анализу текста задачи.

При решении задач с пропорциональными величинами полезно использовать схемы.

Обозначив отрезками общий расход материи - 24 м и 15 м (не нужно соблюдать какой-либо масштаб, важно только, чтобы учащиеся понимали, что один отрезок должен быть больше другого), дети обозначают маленьким отрезком расход материи на одну наволочку. (Эти отрезки должны быть одинаковыми.)

Анализируя схему, необходимо обратить внимание учащихся на то, что один и тот же отрезок одновременно обозначает и количество метров, и количество наволочек. (Чем больше материи, тем больше наволочек; чем меньше отрезок, тем меньше наволочек.)

Теперь можно проверить эти рассуждения вычислениями: 1)24:8=3(м); 2) 15:3=5(н.).

Особое значение схематические модели имеют при решении задач с обратной пропорциональностью величин.

Рассмотрим в качестве примера такую задачу:

•I* На чтение 5 страниц Андрей тратит столько же времени, сколько папа на чтение 8 страниц. Сколько минут Андрей читает одну страницу, если папа прочитывает одну страницу за 5 минут?

При анализе текста задачи полезно сначала задать детям вопросы:

- Кто быстрее читает, папа или Андрей? Почему вы так думаете?

МММ

- Кто больше (меньше) времени тратит на чтение одной страницы?

- Кто быстрее прочитает книгу в 9, 15, 20 страниц, папа или Андрей?

Можно ли, пользуясь условием данной задачи, ответить на вопрос: сколько времени папа будет читать 8 страниц? (Если на чтение одной страницы он тратит 5 минут, то на чтение 8 страниц времени уйдет в 8 раз больше).

Если схема к задаче не дана в готовом виде, то необходимо обсудить с учащимися методику ее построения. В данном случае целесообразно обозначить отрезком одну страницу и зафиксировать над этим отрезком то время, за которое папа ее читает:

Повторив этот отрезок 8 раз, мы построим отрезок, который будет обозначать 8 страниц и то время, которое папа тратит на их чтение.

Теперь можно обозначить страницы, которые прочитал Андрей.

- Какие есть варианты? - спрашивает учитель.

Важно обсудить все варианты, предлагаемые детьми, а если их не будет, то предложить несколько своих: начертить отрезок длиннее или короче данного, а учащиеся должны обосновать, почему эти варианты не подходят:

Итак, данные отрезки обозначают время, которое тратит папа на чтение 8 страниц и Андрей на чтение 5 страниц. Время одинаковое, поэтому отрезки одинаковой длины.

Теперь нужно на верхнем отрезке условно обозначить время, которое Андрей тратит на чтение одной страницы (отрезок должен

быть длиннее нижнего маленького отрезка, так как за одно и то же время папа читает 8 страниц, а Андрей только 5).

Нужно обсудить с детьми и такой вопрос:

- На сколько частей нужно разделить отрезок, чтобы показать на нем то время, за которое Андрей читал одну страницу? (При этом не обязательно делить отрезок на 5 равных частей, важно только выяснить - длиннее он будет или короче, чем тот отрезок, который обозначает время, за которое папа читает одну страницу.)

Только после проведенной работы можно заполнить таблицу, чтобы дети лучше осознали те величины, которые рассматриваются в задаче.

О! Задание 109. Опишите подробно организацию деятельности учащихся в процессе решения задач:

•I* Масса трех одинаковых коробок пряников равна 18 кг. Коробка зефира на 2 кг легче коробки пряников. Чему равна масса шести коробок зефира?

•I» В трех корзинах столько же килограммов огурцов, сколько килограммов помидоров в пяти ящиках. Сколько килограммов огурцов в одной корзине, если в одном ящике 12 кг помидоров?

Щ Задание 110. Пользуясь данной таблицей1, найдите в различных учебниках для начальных классов или составьте сами задачи на нахождение четвертого пропорционального с различными величинами. Опишите организацию деятельности учащихся при решении этих задач.

Использование схем при решении задач на нахождение четвертого пропорционального поможет учащимся самостоятельно найти способ решения таких видов задач с пропорциональными величинами, как задачи на пропорциональное деление и задачи на нахождение неизвестного по двум разностям. Например:

•»• На автозаправочной станции первый водитель залил в бак 25 л бензина, второй - 40 л такого же бензина. Сколько заплатил за бензин каждый водитель, если вместе они заплатили 120250 р.?

«I» На автозаправочной станции первый водитель залил в бак 25 л бензина, второй - 40 л такого же бензина. Первый заплатил на 27750 р. меньше, чем второй. Сколько заплатил за бензин каждый водитель?

При решении этих задач, так же как и при решении задач на нахождение четвертого пропорционального, целесообразно использовать схему.

Предложив, например, две вышеприведенные задачи, учитель рисует на доске три схемы и предлагает учащимся самим догадаться, какой задаче соответствует каждая из них. Обосновав свой выбор, дети «оживляют» схему, т. е. обозначают на ней известные и неизвестное.