Тождественные преобразования числовых выражений

Тождественные преобразования выражений — это замена данного выражения другим, значение которого равно значению данного выражения. Иными словами, тождественные преобразования не меняют значение выражения. В начальной школе все преобразования, выполняемые над выражениями, тождественные. Преобразования, которые могут нарушать тождественность, дети встречают только в математике старших классов — это возведение правой и левой части выра­жения в квадрат, потенциирование, логарифмирование и т. п.

В начальных классах тождественные преобразования опираются на свойства арифметических действий (прибавление суммы к числу, вычитания суммы из числа и т. п.). С учетом этих свойств, можно изменять порядок действий в выражениях по отношению к общему правилу и при этом значение выражения не изменяется.

Например:

(54 + 30) - 14 - (54 - 14) + 30 = 40 + 30 - 70.

Тождественные преобразования могут выполняться на основе конкретного смысла действий.

Например:

Сравни выражения: 35-6 + 35*35-7.

35 • б + 35 = 35 • 7, значит, эти выражения имеют равные значения.

Буквенные выражения

Буквенные выражения наряду с числами содержат переменные, обозначенные буквами.

Выражения могут содержать одну букву. Например:

Найди значение выражения а+ 3 при а= 7, а= 12, а= 65.

Каждое значение переменной а дает другое значение суммы. Анализ получаемых значений суммы подводит ребенка к выводу: чем больше значение одного из слагаемых при постоянном значении другого, тем больше значение суммы.

Например:

Найди значения выражений: 24: с и с • 7, если с = 1, с — 3, с=6, с=8.

Анализ получаемых частных (24,8,4,3) подводит ребенка к выводу: увеличение значения делителя при постоянном делимом уменьшает значение частного.

Анализ получаемых произведений (7, 21, 42, 56) подводит ребенка к выводу: увеличение одного множителя при неизменном другом множителе, увеличивает значение произведения.

Выражения могут содержать две (и более) буквы.

Например:

Вычисли значения выражений а + Ь и Ь — а, если а = 23, Ь =100; а =100, Ь =450.

Для вычисления значений выражений заданные значения переменных поочередно подставляются в выражения. Задание имеет целью подвести ребенка к пониманию возможности переменных значений компонентов действий.

Буквы могут принимать любые значения, но следует обращать внимание на область допустимых значений неизвестных, заданную, неявно тем, что все вычисления дети в начальных классах выполняют на области натуральных чисел. Так, в выражении Ъ - а, переменная Ь может принимать любые значения, а переменная а может принимать значения только меньшие или равные Ь.

Для выражений, содержащих действия умножения и сложения, ограничений для значений неизвестных нет. А для выражений, содержащих действие деления, обычно предлагаются значения делимого и делителя, дающие значение частного без остатка.

Анализ приведенных примеров показывает, что буквенная символика используется в качестве средства обобщения знаний и представлений детей о количественных характеристиках объектов окружающего мира и о свойствах арифметических действий.

Использование буквенной символики представляет собой абстрагирование от конкретных количественных характеристик, которые ребенок достаточно легко может представить себе мысленно.

Например:

В клетке 2 зайчика белых и 3 зайчика серых. Сколько зайчиков всего?

Конкретное количество зайчиков можно представить на модели (палочки, кружки) и получить конкретный ответ в результате выполнения действия: 5 зайчиков всего.

Та же ситуация в буквенном виде:

В клетке о зайчиков белых и Ь зайчиков серых. Сколько зайчиков всего?

В этом случае ответ записывается буквенным выражением а+Ь, смысл которого не должен соотноситься с конкретным числом. Выражение является описанием смысла ситуации (объединение двух множеств в одно посредством действия сложения), и в этом его главная роль. [5,с.247]

Такая обобщающая роль буквенной символики делает ее очень сильным аппаратом формирования обобщенных представлений и способов действий с математическим содержанием. Именно в связи с этим раннее и активное приобщение к алгебраическим понятиям является важной составляющей курсов математики для начальных классов в системах Л.В. Занкова и В.В. Давыдова, поскольку одной из ведущих идей этих курсов является идея формирования и развития теоретического стиля мышления у ребенка.