Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами их частные решения в зависимости от вида правой части. Метод вариации произвольных постоянных.

Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентом называется уравнение вида

, (10)

где .

Рассмотрим два способа решения уравнения (10).

1. Метод вариации произвольной постоянной заключается в том, что сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения, где функциииобразуют ФСР однородного уравнения (8). Общее решение уравнения (10) ищут в видегдеи- неизвестные функции. Тогда(постоянныеизаменяют на функциии). Подберемитак, чтобы, тогда,. Подставим выражения дляв (10), получим. Таким образом функцииидолжны удовлетворять системе(*). Решим эту систему относительнои. Проинтегрировав полученные решения системы, найдемии составим общее решение.

Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Определение. Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от x, определенными на (a;b): (1).

Если , то(2) – числовой ряд.

Определение. Если сходится числовой ряд (2), то функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке и точканазывается точкой сходимости ряда (1).

Определение. Если сходящийся числовой ряд (2) расходится, то функциональный ряд (1) называется расходящимся в точке и точканазывается точкой расходимости ряда (1).

Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Определение. Степенным рядом с центром в точке 0, называется ряд вида (3), где– действительные числа.

Всякий степенной ряд сходится в своем центре при x=0

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать следующим образом:

, где x – независимая переменная, -i-ая производная от искомой функции, n - порядок уравнения. Общее решение ОДУ n–го порядка содержит n произвольных постоянных , т.е. общее решение имеет вид.

Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.

Ясно, что при n=1 можно говорить только о задачи Коши.