Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Дифференциальное уравнение вида , где

, ,- известные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Это уравнение делением на можно привести к виду

, (3)

где . Это уравнение линейно, так какy и в первой степени. Если, то линейное уравнение называется однородным.

Способами решения уравнения (3) являются: метод Бернулли и метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).

Умножим обе части уравнения (3) на . Получим. Найдем производную функции, то есть=.

Определение дифференциальных уравнений второго порядка. Основные понятия.

Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вид(5) или.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (5) называется функция вида , зависящая от двух произвольных постоянныхии удовлетворяющая уравнению (5) при любых значенияхи.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (5) называется функция , полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных.

Начальные условия для дифференциального уравнения второго порядка задаются с помощью трех чисел илии. Иначе говоря, задается точкаи угловой коэффициент касательнойк интегральной кривой в данной точке. Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, называется решением задачи Коши.

Геометрический смысл решения задачи Коши.

Так как , то среди интегральных кривых, проходящих через точку, находят единственную кривую, для которой прямая с угловым коэффициентом, является касательной.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений (фср). Теоремы об общем решении.

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (6).

Определение. Решения иуравнения (6) называются линейно-

зависимыми, если для. Решенияиуравнения (6)

называются линейно-независимыми, если для.

Определение. Фундаментальной системой решения однородного уравнения (6) называются любые два линейно независимых решения уравнения (6).

Пример. Для уравнения функции,являются частными решениями. Пары решенийи,и,и,и,и,и,иявляются линейно-независимыми и образуют ФСР; пары решенийи,и- линейно-зависимые.

Теорема (о структуре общего решения линейного однородного уравнения второго порядка).

Пусть иобразуют ФСР уравнения (6), тогда общее решение уравнения (6) имеет вид, гдеи-произвольные постоянные.

Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (7), где.

Этому уравнению соответствует однородное уравнение

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение линейного однородного уравнения довольно сложная задача,

которая намного упрощается, если коэффициенты уравнения постоянны.

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (8)

где p и q – действительные числа.

Будем искать решение уравнения в виде функции . Для этого подставим выражения для,,в уравнение (8). Так как,, тоПоскольку, то(9).

Определение. Алгебраическое уравнение (9) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения (8).