Результаты исследований простейших цепей синусоидального тока представлены в табл. 2.1. Там же показаны их векторные диаграммы, а на рис. 2.6 даны осциллограммы токов и напряжений для цепей с R , L и С.

Таблица 2.1

Соотношения между действующими значениями тока и напряжения и их фазовые соотношения в простейших электрических цепях

Рис. 2.6

27

2.1.8. Зависимости активного, индуктивного и емкостного сопротивлений от частоты

Эти зависимости представлены в виде графика на рис. 2.7.

Активное сопротивление R при низких частотах практически не зависит от частоты и остается неизменной величиной, но индуктивное и емкостное сопротивления цепи синусоидального тока, в принципе, зависят от частоты приложенного напряжения.

Индуктивное сопротивление XL= L изменяется прямо пропорционально частоте. При частоте 0, XL 0, что подтверждает положение о том, что индуктивность в цепи постоянного тока не обладает сопротивлением .

Емкостное сопротивление X C 1 C изменяется обратно пропорцио-

нально частоте: при 0 емкостное сопротивление XC , что соответствует отсутствию тока в емкости в цепи постоянного тока.

R = const

XC =1/ C

Рис. 2.7

2.1.9. Цепь с последовательным соединением R, L, C

Известны приложенное к цепи синусоидальное напряжение u=Umsin( t+ u) и параметры R, L, C цепи (рис. 2.8, а). Требуется определить ток цепи i , т. е. его амплитуду Im и начальную фазу i.

В цепи с последовательным соединением R, L, C ток во всех ее элементах одинаков, а напряжения на элементах различные. В такой цепи действует 2-й закон Кирхгофа, который в векторной форме записи в соответствии с формулой

(2.9) имеет вид UR + UL + UC U = 0 или U = UR + UL + UC .

Частота = 0 имеет место в цепи постоянного тока.

28

Рис. 2.8

Решим поставленную задачу с помощью векторной диаграммы. Она показана на рис. 2.8, б для случая, когда UL UC. Диаграмму начинаем строить с вектора тока I, откладывая его на плоскости чертежа вертикально вверх (выбор произвольный).

В соответствии с табл. 2.1 вектор UR совпадает с вектором I по фазе, вектор UL опережает вектор I по фазе на 90 , а вектор UC отстает от вектораI по фазе на 90 .

Применяя правило многоугольника для сложения векторов и откладывая векторы UR , UL и UC друг за другом, находим вектор U приложенного к цепи напряжения. Полученный результат показывает, что действующие значения напряжений этой цепи (длины векторов) соотносятся между собой как стороны прямоугольного треугольника. Этот треугольник напряжений показан на рис. 2.8, в. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, находим:

U U R2 (U L UC )2 U R2 U X2 ,

Эта формула является законом Ома для цепи синусоидального тока с последовательным соединением активного и реактивного сопротивлений. Здесь

полное сопротивление данной цепи.

Из формулы (2.19) следует, что активное R, реактивное X и полное z сопротивления рассматриваемой цепи также соотносятся между собой как стороны прямоугольного треугольника. Этот треугольник сопротивлений показан на рис. 2.8, г.

29

Заметим, что треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений: поделив все стороны треугольника напряжений на величину действующего значения тока I цепи, получаем треугольник сопротивлений.

Из векторной диаграммы видно, что ток и напряжение цепи не совпадают по фазе. Угол сдвига фаз определяется из треугольника напряжений или треугольника сопротивлений:

Этот угол по абсолютному значению меньше 90 . В нашем примере UL UC , угол 0 и цепь имеет индуктивный характер. Если UL UC , то 0 и цепь имеет емкостной характер. Если же UL = UC, то = 0 и цепь ведет себя как чисто активная.

2.1.10. Цепь с параллельным соединением R, L и C

Известны приложенное к цепи (рис. 2.9, а) синусоидальное напряжение u = Um sin( t+ u) и ее параметры R,L,C. Требуется определить ток цепи i

(Im и i).

В цепи с параллельным соединением R, L, C напряжение на всех ее элементах одинаково, а токи разные. Здесь действует 1-й закон Кирхгофа в векторной форме I = IR + IL + IC . Для решения задачи построим векторную диаграмму цепи. Она показана на рис. 2.9, б при условии, что IL IC . Диаграмму начинаем строить с общего для всей цепи вектора напряжения U, откладывая его на плоскости вертикально вверх (произвольный выбор).

Затем строим векторы IR IL и IC . Вектор IR откладываем по одной линии (параллельно) с вектором U, так как ток и напряжение в активном сопротивлении R совпадают по фазе. Вектор IL откладываем под углом 90 по часовой стрелке к вектору U, так как в индуктивности ток отстает от напряжения на 90 . Наконец, вектор IC откладываем под углом 90 против часовой стрелки к вектору U, поскольку в цепи с емкостью ток опережает напряжение по фазе на 90 .

Складывая эти векторы по правилу многоугольника (предварительно выстроив их друг за другом), находим результирующий вектор I . Из полученной диаграммы следует, что действующие значения токов ветвей (длины векторов)

30

Эта формула является законом Ома для цепи с параллельным соединением активных и реактивных сопротивлений. Здесь у полная проводимость исследуемой цепи, равная

y G 2 (bL bC ) 2 G 2 b 2 , (2.23)

где b bL bC – реактивная проводимость.

Из формулы (2.23) следует, что активная G, реактивная b и полная y проводимости цепи соотносятся между собой как стороны прямоугольного треугольника (рис. 2.9, г), подобного треугольнику тока: его можно получить, если все стороны треугольника тока поделить на действующее значение напряжения цепи U. Сравнивая между собой формулы (2.23) и (2.18), замечаем, что полная проводимость y и полное сопротивление z цепи являются взаимообратными величинами: y IU ; z U I . Отсюда

(2.24)

Из векторной диаграммы на рис. 2.9, б следует, что ток и напряжение цепи не совпадают по фазе. Угол сдвига фаз определяется либо из треугольника напряжений, либо из треугольника токов:

Этот угол, как видно из диаграммы, по абсолютному значению меньше 90 . Здесь возможны три варианта. Если IL IС (bL bC), этот угол положителен и цепь имеет индуктивный характер. При IL IC (bL bC) угол сдвига фаз

31