1.5. Метод Мора

Определение перемещений при помощи теоремы Кастильяно обладает тем очевидным недостатком, что даёт возможность определить перемещения только точек приложения внешних сил по их направлению. На практике же возникает необходимость определять любые перемещения любых точек системы в любом направлении.

Выход из указанного затруднения оказывается довольно простым. Если необходимо определить перемещение в точке, где не приложены внешние силы, мы сами прикладываем в этой точке внешнюю фиктивную силу Фв интересующем нас направлении. Далее, в соответствии с формулой (1.22), дифференцируя выражения для внутренних усилий поФ, находим интересующее нас перемещение. Теперь остаётся «вспомнить», что на самом деле силыФнет, и положить её равной нулю.

Применим эту методику к расчёту балок. По формуле (1.22)

. (1.23)

Изгибающий момент

М = М_р + М_Ф,(а)

где М_р– изгибающий момент от заданной нагрузки;

М_ф– изгибающий момент от фиктивной силы.

. (б)

Очевидно, что дополнительный силовой фактор М_ф пропорционален силе Ф, поэтому его можно представить в виде (б). – изгибающий момент от действия силыФ = 1. Подставим (б) в (а) и подсчитаем ∆.

,, т.к.Ф = 0.

Итак, получили формулу Мора

, (1.24)

где – изгибающий момент во вспомогательной балке: в точке, в которой необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу, внешние нагрузки отсутствуют. При необходимости определить угол поворота сечения – прикладываем единичный момент.

М_р– изгибающий момент от заданной нагрузки.

Если балка имеет несколько участков, необходимо суммировать интегралы, подсчитываемые для каждого участка

. (1.25)

Пример

Найдём прогиб и угол поворота сечения свободного конца балки, показанной на рис.1.13. Жёсткость балки постоянная, EJ = const = 3,68 ∙ 10⁶ кН∙см²(двутавр №20).

Найдём сначала перемещение υ_с. Балка имеет два участка. Необходимо составить аналитические выражения для изгибающего момента в основной и вспомогательной балках (рис.1.14). Предварительно определяем опорные реакции.

Рис.1.13

В основной балке:

∑М_А = 0; R_B ∙ 3 – q ∙ 2 ∙ 4 = 0; R_B = 12 ∙ 2 ∙ 4/3 = 32 кН.

∑у = 0; – R_A + R_B – q ∙ 2 = 0; R_A = 32 – 12 ∙ 2 = 8 кН.

Во вспомогательной балке:

∑М_А = 0; R′_B ∙ 3 – 1 ∙ 5 = 0; R′_B = 5/3 кН.

∑у = 0; – R′_A + R′_B – 1 = 0; R′_A = 5/3 – 1 = 2/3 кН.

а б

Рис.1.14

0 ≤ х₁ ≤ 3 0 ≤ х₂ ≤ 2

М_р = – 8х; М_р = – 12 ∙ х ∙ х/2 = – 6х²;

= – 2/3х. = – 1∙х.

Размерность выражения для прогиба кН∙м³, поэтому при подсчётеυметры надо перевести в сантиметры – умножить на 10⁶.

.

Найдём теперь угловое перемещение θ_с. Изменяется вспомогательная балка – в точкеСнадо приложить не силу, а единичный момент (рис.1.15).

Опорные реакции:

∑М_А = 0; R′_B ∙ 3 – 1 = 0; R′_B = 1/3 кН.

∑у = 0; – R′_A + R′_B = 0; R′_A = 1/3 кН.

Выражения для изгибающего момента от заданной нагрузки можно переписать из задачи по определению прогиба υ_сбез изменения.

0 ≤ х₁ ≤ 3 0 ≤ х₂ ≤ 2

М_р = – 8х; М_р = – 6х²;

= – 1/3х. = – 1.

Размерность выражения для угла поворота сечения кН∙м², поэтому

град.

Рис.1.15

Положительные результаты говорят о том, что перемещения происходят в направлении единичных усилий.

Рассмотренные задачи показывают, что при расчёте статически определимых балок метод Мора ничуть не эффективнее метода начальных параметров. Главное его достоинство – универсальность. Он применим к расчёту любых пространственных стержневых систем с прямой и изогнутой осью. Очевидно, что тогда формула (1.24) усложняется и по аналогии с (1.22) приобретает следующий вид:

. (1.26)

Оказалось, что для прямых стержней постоянной жёсткости (а таких подавляющее большинство) операцию интегрирования можно упростить и выполнять её графическим способом.