Тема № 3. Определение характеристик генеральной совокупности по выборочным характеристикам

Исходные данные:

• Численность генеральной совокупности - N;

• Численность выборочной совокупности - n;

• Изучаемый признак в выборке - Х_i;

• Частота изучаемого признака в выборке - f_i ;

• Альтернативный признак в выборке: его количество (частота) - m;

• Вероятность попадания в рассчитанный интервал;

• Таблица доверительных коэффициентов t для заданной вероятности.

Определить:

• Среднюю величину изучаемого признака - Хв и долю альтернативного признака w для выборочной совокупности;

• Среднюю ошибку выборки для средней величины Mx и среднюю ошибку альтернативного признака Мw;

• Среднюю величину изучаемого признака Хг и долю альтернативного признака для генеральной совокупности Хw с учетом ошибок выборки.

Методические указания

Этап 1. Определение относительной величины альтернативного признака.

Относительная величина альтернативного признака- это доля единиц совокупности, отличающихся от других только наличием изучаемого признака . Например, доля нестандартных изделий во всей партии; удельный вес продавцов во всей численности рабочей силы

,

где: n - численность выборки,

m - численность с альтернативным признаком в выборке,

m<=n

Этап 2. Определение средней величины изучаемого признака в выборочной совокупности.

Например: средняя выработка продавца; средняя заработная плата сотрудника, среднее число детей в семьях и т.д.

Этап 3. Определение количественной оценки ошибки выборки.

Средняя ошибка выборки

Ошибка для средней:

а) Отбор бесповторный:

,

где- дисперсия показывает отклонение индивидуальных значения х_i от среднего значения индивидуального признака в выборке.

в) Отбор повторный

.

Ошибка для доли альтернативного признака:

a) Отбор бесповторный.

где: w - дисперсия альтернативного признака.

Дисперсия альтернативного признака рассчитывается по формуле:

.

в) Отбор повторный.

Этап 4. Распространение выборочных характеристик на генеральную совокупность с учетом предельной ошибки выборки

Утверждать, что обобщающие показатели ген. совокупности не выйдут за пределы средней ошибки выборки М можно только с вероятностью 0,683 . Это означает, что в 683 случаях из 1000 генеральные средняя Хг и доля Р будут находиться в установленных пределах (Хв+Мх, Хв-Мх) и (w+Мw, w-Мw). В остальных 317 случаях они могут отличаться. Чтобы увеличить вероятность попадания в полученный интервал, необходимо его увеличить в t раз.

Следовательно,

где t -коэффициент доверия

Существуют специальные таблицы, где по указанной вероятности можно найти t.

Для практических расчетов можно использовать следующую таблицу значений функции Лапласа

P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
t	1	1,5	2	2,5	3	3,5

Содержание отчета

1. Исходные данные;

2. Расчетная часть;

3. Аналитическая записка.

4. Экономическая интерпретация полученных результатов.

Контрольный пример

На машиностроительном предприятии, где число рабочих составляет 5000 человек, методом случайного бесповторного отбора проведено обследование 250 рабочих. Получены следующие данные:

Квалификация (тарифный разряд)	1	2	3	4	5	6
Количество рабочих	10	45	50	65	45	35

Требуется определить пределы, в которых находится средний разряд рабочих предприятия, а также долю рабочих с разрядом 4 и выше, если принятая вероятность равна 0,806.

Расчетная часть

Обозначения:	xi	квалификация рабочего
	fi	количество рабочих i-той квалификации
	xв	средняя квалификация рабочего в выборке
	хг	средняя квалификация рабочего в генеральной совокупности
	w	доля рабочих с квалификацией 4 и выше в выборке
	xw	доля рабочих с квалификацией 4 и выше в генеральной совокупности
	t	коэффициент доверия
	Mx	ошибка выборки для средней квалификации
	Mw	ошибка выборки для доли

Хi	fi	Хi*fi	(Xi-Xв)2*fi
1	10	10	77,284
2	45	90	142,578
3	50	150	30,42
4	65	260	3,146
5	45	225	66,978
6	35	210	172,494
	250	945	492,9

Результаты.

Средний разряд в выборке	3,78 разряд
Доля рабочих в выборке с разрядом 4 и выше.	0,58
Дисперсия для средней	1,9716 разряд2
Ошибка выборки для средней	1,372 разряд
Дисперсия для доли	0,243
Ошибка выборки для доли	0,0304
Коэффициент доверия для вероятности 0,806 по таблице Стьюдента	1,3

Характеристики генеральной совокупности

2,41 < = Хг <= 5,15

Неравенство определяет пределы, в которых находится средний разряд рабочих в генеральной совокупности.

0,54 <= p <= 0,62

Неравенство определяет пределы, в которых находится доля рабочих с разрядом 4 и выше в генеральной совокупности.