Контрольный пример

Имеются данные о среднем возрасте оборудования предприятия и средних затратах на его ремонт.

Номер предприятия	Возраст оборудования (лет)	Затраты на ремонт (тыс. руб.)
1	4	1,5
2	5	2,0
3	5	1,4
4	6	2,3
5	8	2,7
6	10	4,0
7	8	2,3
8	11	6,6
9	6	1,7

В целях нормирования расхода средств на ремонт оборудования произвести анализ тесноты связи между возрастом оборудование и затратами на его ремонт. Рассчитать уравнение регрессии между ними.

Расчетная часть

Решение задачи выполним в следующей последовательности.

1. Определение степени тесноты связи и адекватности модели путем построения линий тренда на графике в среде MS Excel.

2. Проведение расчетов с использованием стандартных статистических функций MS Excel (ЛИНЕЙН и другие).

3. Построение линий тренда на графике в среде MS Excel.

1. При построении линий тренда в использованием MS Excel предварительно необходимо выявить результирующий и факторный признаки. Результативным признаком Y модели являются затраты на ремонт, а факторным - возраст оборудования X. Для исключения ошибок следующим шагом является ранжирование исходных данных по факторному признаку (Меню Данные, Сортировка, По возрастанию).

Номер предприятия	Возраст оборудования (лет)	Затраты на ремонт (тыс. руб.)
1	4	1,5
2	5	2
3	5	1,4
4	6	2,3
9	6	1,7
5	8	2,7
7	8	2,3
6	10	4
8	11	6,6

2. Построение корреляционного поля.

Анализ корреляционного поля позволяет предположить о наличии прямой связи между возрастом оборудования и затратами на ремонт.

4. Построение линий тренда на графике (диаграмме).

В результате построения трендов получены следующие модели:

А) прямолинейная функция: Y₁ = 0,4767x + 0,3389, характеризующаяся коэффициентом детерминации r² = 0,6243. При этом коэффициент корреляции, рассчитанный по функции КОРРЕЛ, равен r = 0,886636;

В) полиномиальная функция Y₂ = 0,1301x² - 0,8242x + 2,7238 с коэффициентом детерминации r² = 0,863.

Анализ модели, представленный в виде прямолинейной функции, приводит к следующим выводам.

Параметр, характеризующий угол наклона линейной модели, равен 0,4767. Это означает, что в среднем по совокупности наблюдений отклонение возраста оборудования от его среднего значения на 1 год приводит к возрастанию затрат на ремонт на 0,4767 тыс. руб.

Линейный коэффициент корреляции равен 0,886636, что по шкале Чеддока подтверждает наличие высокой тесноты связи между возрастом оборудования и затратами на ремонт.

Коэффициент детерминации R², полученный при построении тренда, равен 0,6243³. Это означает, что 62% затрат на ремонт связаны именно с изменением возраста оборудования, а оставшиеся 38% определяются другими, не учтенными в данной постановке, факторами.

Т.к. изучаемая совокупность меньше 30, то целесообразно провести проверку значимости коэффициента корреляции и параметров линейной модели.

Т-критерий Стьюдента, рассчитанный по формуле (7.4), t _r= 5,072387.

Критическое (табличное) значение в результате расчетов с использованием функции Excel СТЬЮДРАСПОБР(0,05;7) равно t_крит=2,364624.

Так как t_r > t_крит , то коэффициент корреляции может быть признан значимым и связь между Y и Х является реальной.

Для подтверждения гипотезы воспользуемся оценкой значимости коэффициентов линейной регрессии, что является необходимым применительно к совокупностям, число наблюдений в которых не превышает 30. Расчетные (фактические) значения t-критерия Стьюдента определяются для каждого из параметров модели.

Для параметра а₀ :

Для параметра а₁ :

где

- значение затрат, вычисленное по модели (выравненных значений),

- среднее квадратическое отклонение результативного признака от выравненных значений,

- среднее квадратическое отклонение факторного признака х от общей средней.

Расчеты представим в виде таблицы.

Исходные данные			Расчетные данные
Номер предприятия	Возраст оборудования (лет)	Затраты на ремонт (тыс. руб.)	YЛинейная = = 0,4767x + 0,3389	Yполиномиальная = = 0,1301x2 - 0,8242x + 2,7238
1	4	1,5	0,8	2,0
2	5	2,0	1,3	1,6
3	5	1,4	1,8	1,4
4	6	2,3	2,2	1,5
5	6	1,7	4,6	5,8
6	8	2,7	2,7	1,9
7	8	2,3	3,7	3,3
8	10	4,0	3,2	2,5
9	11	6,6	4,2	4,5
	Всего затрат	24,5	24,5	24,5

Значения t-критерия Стьюдента представим в таблице.

ta0=	0,630295
ta1=	2,289138
tкрит=	2,364624

Анализ представленных результатов показывает, что для линейной модели расчетные (фактические). Таким образом, можно предположить, что полученная модель не в полной мере адекватна фактическим (экспериментальным) данным и зависимость между возрастом оборудования и затратами на ремонт определяется неучтенными случайными факторами. Проверка значимости параметров полиномиальной модели проводится аналогично.

При использовании функции ЛИНЕЙН получены следующие результаты.

а1=	0,61087	а0=	-1,55386
SE1=	0,12043	SE0=	0,88589
r2=	0,78612	Sey=	0,8168
F=	25,7291	df=	7
Ssreg=	17,1654	Ssresid=	4,67012

Полученные результаты свидетельствуют о соответствии числового значения коэффициента детерминации по функциям ЛИНЕЙН и КОРРЕЛ. Рассчитанные значения t-критерия Стьюдента для параметров модели имеют значения:

ta0=	1,75401
ta1=	5,07241
tкрит=	2,36462

Их сравнение с критическим (табличным) значением t-критерия Стьюдента позволяют утверждать о значимости только коэффициента a₁, характеризующего угол наклона прямой линии. Для уточнения выводов воспользуемся распределением Фишера.

Критическое значение рассчитаем с использованием функции FРАСПОБР, которое имеет значение 5,3176. В нашем случае расчетное F-значение по данным функции ЛИНЕЙН равно 35,509, что заметно больше чем F-критическое значение, равное 5,3176. Таким образом, полученное уравнение регрессии в виде Y =0,61086 X -1,55386 может быть использовано для оценки затрат, необходимых для ремонта оборудования в связи с его амортизацией.